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Integral da tan x

Pode não parecer a princípio, mas a regra da cadeia reversa nos permite calcular a integral de tan(x).

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Veremos se podemos calcular a integral indefinida de tangente de x dx. Como sempre, pause o vídeo e veja se consegue fazer sozinho. Darei uma dica: pense na regra da cadeia invertida. Muito bem, agora que você já tentou a regra da cadeia invertida, é como ver sua função e sua derivada e integrar em relação a essa função, mas tudo que você vê aqui é a tangente de x. Então do que estou falando? Sempre que ver tangente de x, cossecante ou secante, pelo menos na minha cabeça, gosto de desdobrar essas expressões em termos de seno e cosseno, pois temos algumas ferramentas para lidar com senos e cossenos. Pelo menos é mais fácil para mim. Sabemos que tangente de x é o mesmo que sen x sobre cos x. Isso é igual à integral indefinida de (sen x sobre cos x) dx. Você pode escrever desse jeito. Isso é apenas mais uma dica. Você pode até escrever como sen x vezes (1 sobre cos x). Se não pensou nisso na primeira tentativa, eu recomendo que pause o vídeo novamente e mais uma vez pense na regra da cadeia invertida. Sobre o que estou falando quando digo "regra da cadeia invertida"? Vamos rever isso antes de prosseguir. Qual é a integral indefinida de (1 sobre x) dx? Sabemos que será o logaritmo natural do valor absoluto de x mais C. Mas se eu perguntasse qual é a integral indefinida de f'(x) vezes (1 sobre f(x)) dx, o que será? Aqui é onde entra a regra da cadeia invertida. Quando tem o f(x), se pelo menos eu tivesse a derivada multiplicando por isso, eu poderia integrar em relação a f(x), mas eu tenho a derivada. Está multiplicando isso. Posso usar a regra da cadeia invertida para dizer que isso será igual ao logaritmo natural do valor absoluto do termo que tem no denominador, que é f(x) mais C. Ocupei tanto espaço que não dá para enxergar tudo, mas é o que está acontecendo aqui. Dessa forma, se cos x é f(x), então sen x não é exatamente a derivada. Seria menos a derivada. f'(x) seria -sen x. Mas como obtenho isso? E se eu apenas colocasse um sinal negativo aqui e um sinal negativo ali? Assim multiplicaria por -1 duas vezes, sem alterar o sinal. Estou tentando colocá-lo entre a integral do sen x. Agora que tenho -sen x, tenho a derivada do cos x. Isso é f'(x). Então posso usar a regra da cadeia invertida. Isso será o logaritmo natural do valor absoluto do nosso f(x), que será cos x. E claro, temos o mais C. Não podemos esquecer do sinal negativo. Teremos que colocar o sinal negativo aqui. Terminamos. Acabamos de calcular e é um bom resultado, pois devemos saber calcular esse tipo de integral. A integral indefinida da tangente de x é (e é bom que estejam relacionadas assim), é menos o logaritmo natural do valor absoluto do cos x, mais C.