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Exemplo de regra da cadeia reversa

Usando a cadeia reversa para (x/2)sen(2x^2 + 2).

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Vamos supor que você queira integrar a função x/2 sen(2x² + 2) dx. Bem, para você fazer a integral, você tem que fazer a antiderivada, você tem saber que função foi que gerou esta função aqui. Ora, a integral do sen(x) dx, nós sabemos que vai ser -cos(x). Por quê? Porque a derivada do cos(x) / dx = -sen(x). Ora, se a derivada de cos(x) / dx = -sen(x), nós podemos modificar esta função da seguinte forma: multiplicamos por menos por fora, multiplicamos por menos por dentro, ou seja, a integral de -sen vai ser exatamente o cosseno. Então, nós temos o quê? Que esta parte aqui vai ser a integral dessa parte, vai ser o cosseno, então, ficamos -cos(x) mais uma constante. Como é que nós podemos aplicar essa regra aqui? Nós podemos chamar esta parte que está dentro no seno de f(x), ou seja, 2x² + 2 é o nosso f(x). E quem vai ser o f'(x)? O f'(x) vai ser 4x. Lembre-se que quando você está derivando pela regra da cadeia, você deriva o que está do lado de fora e depois deriva o que está do lado de dentro. Então, quando você deriva do lado de dentro, tem que aparecer um 4x aqui. Não está aparecendo, não tem importância, você força aqui. Multiplica por 4 e divide por 4. Então, vamos repetir aqui esta expressão, colocando este 2 para o lado de fora. Nós temos 1/8 da integral de 4x sen(2x² + 2) dx. E verificamos que este aqui é o nosso f(x) e este aqui vai ser nosso é f'(x). Então, escrevendo esta expressão de outra forma, nós temos 1/8 de f'(x) vezes o nosso sen(f(x)). Ora, veja como ficou fácil de integrar agora, pois nós sabemos que a antiderivada do seno vai ser -cosseno, então, fica 1/8 (-cos(f(x)), porque quando derivarmos, somamos a uma constante aqui. Quando derivarmos, nós vamos ter a derivada de -cos(x) e a derivada do que está aqui dentro, então, temos a nossa função. Portanto, esta é a nossa integral. 1/8 vezes (-cos(f(x)), quem é f(x)? É 2x² + 2, mais uma constante. Se você derivar esta função, vamos derivá-la para ver se chegamos nesta aqui, ou seja, se a integral dessa função é esta função aqui, a derivada desta função tem que ser esta função de onde ela veio. Então, a derivada de d 1/8/dx de -cos(2x² + 2) mais um constante, se derivarmos, nós vamos ter a derivada desta função, que vai ser a derivada de -cosseno, que vai dar seno, então, vai ser sen(2x² + 2) vezes a derivada do que está aqui dentro. A derivada do que está aqui dentro vai ser 4x, ou seja, eu posso simplificar esse 4 com este 8 aqui e vou ter x/2 (sen(2x² + 2). E obviamente, voltamos a ter a função inicial que queríamos integrar. Então, para você fazer a integral e utilizar a regra da cadeia inversa, você vai descobrir determinados padrões que, quando você derivar a sua integral, ou seja, a função que você encontrou com a sua integral, você vai encontrar a função que está dentro da integral indefinida que você quer fazer. Ou seja, se nós achamos que antiderivada, é essa função, a derivada dessa função vai ser o que está dentro da integral que queremos obter.