Introdução à regra da cadeia reversa

RKA2G - Espero que todos se lembrem da nossa boa amiga, a regra da cadeia de cálculo diferencial, que nos diz que, se eu tivesse que pegar a derivada em relação a "x" de g(f(x))... Vou escrever aqui, colocar os parênteses um pouco mais perto. Será apenas igual à derivada de "g" com respeito a f(x) para que possamos escrever isto. g'(f(x)), vezes a derivada de "f" com relação a "x", vezes f'(x). Se você quiser ver isso em outra notação, eu acho que você poderia escrever esta parte bem aqui como a derivada de "g" com relação a "f" vezes a derivada de "f". A derivada de "f" com relação a "x", que vai lhe dar a derivada de "g" em relação a "x". Esta é apenas uma revisão. Esta é a regra da cadeia, que você se lembra, ou eu espero que você se lembre, do cálculo diferencial. É difícil de conseguir, é difícil ir muito longe no cálculo sem realmente entender a regra da cadeia. Bem, se isto é verdade, então não poderíamos fazer ao contrário? Se eu quisesse pegar a integral disto, se eu quisesse pegar a integral de g'(f(x)) vezes f'(x) dx. Isto deveria ser igual a g(f(x)). E, claro, sempre que pego uma integral indefinida... Deixe-me verificar que são da mesma cor. g(f(x)). Eu troquei os lados. Eu estou indo do outro lado. Então, se eu pegar a integral indefinida, não seria igual a esta? É claro que não posso esquecer que poderia ter uma constante aqui, que deve ser introduzida porque, se eu pegar a derivada, a constante desaparece. Assim, esta ideia você poderia realmente chamar apenas de regra da cadeia reversa, que é essencialmente, ou exatamente, o que fizemos com substituição "u". Só que fizemos mais metodicamente com a substituição por "u". Mas antes, vamos ver como a substituição "u" refere-se ao que eu escrevi aqui. Vamos realmente aplicá-la e ver onde ela é útil. Esse é um jeito de fazer a substituição "u" sem ter que fazer a substituição pela letra "u", ou fazer a substituição por "u" na sua memória, ou fazer problemas parecidos com substituição por "u" mais rapidamente. Deixe-me dar um exemplo. Eu vou colorir isto de um jeito que chame um pouco mais de atenção. Vamos dizer que tivemos seno de "x" e eu vou escrevê-lo desta forma. Eu poderia escrever, vamos dizer, (sen x)², e, obviamente, a convenção típica: (sen x)². A convenção típica seria colocar o "quadrado" bem aqui, mas vou escrevê-lo assim e acho que você pode ser capaz de adivinhar o porquê. (sen x)² vezes cos x. Na verdade, farei isso de uma cor diferente. Eu encorajo você a dar uma pausa neste vídeo e pensar sobre isso, se isto atende a este padrão aqui. E, se for assim, o que esta integral indefinida vai ser? Vamos pensar nisso. Se f(x) é sen x, o que é a derivada disso? O que é f'(x)? f'(x), nesta circunstância, vai ser cos x. E o que é "g"? Bem, "g" é qualquer coisa que você usa em g². Então, o que isto vai ser para nós se simplesmente usássemos a regra da cadeia reversa? Isto vai ser g' (que pega qualquer valor que estiver aqui) ao quadrado. Então, "g" vai ser a antiderivada disto. Por isso, vai levar a algo à terceira potência, em seguida, dividindo por 3. Vamos fazer isso. Se nós, essencialmente, pegarmos a antiderivada aqui, com respeito a sen x, ao invés de com respeito a "x", você vai ter sen x. (sen x)³/3. E depois, claro, você tem que adicionar o "c". E, se você não acreditar, basta elevar a derivada deste. Você vai ter que aplicar a regra da cadeia e vai ter exatamente isto. Você diz: "Espere! Como isso se relaciona com a substituição 'u'?" Na substituição por "u", você teria dito u = sen x. Em seguida, du teria sido (cos x) dx. Na verdade, deixe-me fazer isso. Isso realmente esclareceria um pouco as coisas. Você iria definir este como "u" e depois isto. Todo este negócio bem aqui seria du. Então, você teria a integral. Você teria a integral de u². Eu não preciso colocar parênteses em torno dele. u² du. Vou fazer nesta cor laranja. Bem, isto é bastante simples. Este vai ser igual a "u". Este vai ser igual a u³/3, mais "c". Acabamos de dizer que u = sen x. Então, você substitui invertido. E você vai obter exatamente isto, bem aqui. Então, quando falamos sobre a regra da cadeia reversa, é basicamente fazer substituição por "u" de cabeça. Assim, nos próximos exemplos, eu vou fazer exatamente isso.