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Substituição com x=sen(theta)

Quando você está integrando algo que contém a expressão (1-x^2), tente substituir x por sen(theta). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1JV - Vejamos se podemos calcular essa integral indefinida bem aqui. E a dica de que uma substituição trigonométrica pode ser adequada é o que vemos bem aqui, no denominador sobre o radical. Em geral, se vemos algo na forma de a² - x², geralmente é uma boa ideia. Nem sempre, mas geralmente é uma boa ideia substituir "x" por "a" vezes seno de θ. Porque fazendo isso, se torna a² - a²seno²θ. Se você fatorar a², você obtém uma das identidades trigonométricas mais elementares. Isso aqui é cosseno²θ. Talvez simplifique a expressão. Você pode dizer que isso é 8 menos 2x², não é tão óbvio que temos a² menos x², mas podemos simplificar isso, ou escrever de modo que pareça esse padrão. Você pode escrever de 8 menos 2, você pode escrever 8 menos 2x². Como se fatorarmos um 2 como 2 vezes 4 menos x². Isso claramente tem um padrão do tipo a² - x². Pode escrever isso como 2 vezes 2² - x². Nesse caso, "a" será igual a 2. Vamos fazer essa substituição. Vamos substituir o "x", "x" vai ser igual a 2 senθ dx. e "dx" vai ser igual a 2 cosθ dθ. O vai ser essa parte sob a expressão? Já começamos a simplificá-la bem aqui, vai se tornar 2 vezes 2² - x², "x" vale 2 senθ. Então x² vai ser 2² vezes sen²θ. E agora podemos fatorar o 2², isso vai ser 2 vezes 2² vezes 1, menos sen²θ. 2 vezes 2², isso dá 8, vezes o cos²θ. É o que temos sobre o radical. Vamos continuar, vamos reescrever isso bem aqui. Teremos, eu irei tirar o "π" para fora da integral. Teremos "π" vezes dx. "dx" é 2 vezes o cosθ dθ. Isso vai ser, vou deixar isso mais claro. Quero fazer de azul, "dx" bem aqui é 2 vezes cosθ dθ, agora vou escrever o dθ aqui. Aqui no denominador, irei tratar a raiz quadrada disso aqui. A raiz quadrada de 8 vezes cos²θ. A raiz quadrada disso vai ser 2 vezes a raiz de 2, a raiz de 8 vale 2 vezes a raiz de 2, vou escrever isso aqui. Esclarecendo o que eu estou fazendo. Isso vai ser a raiz quadrada daquilo, que vale 2 vezes a raiz de 2, isso é a raiz quadrada de 8. A raiz quadrada de cos²θ vai ser igual a cosθ. Se eu tomo a raiz quadrada de algo ao quadrado, então, isso não seria o valor absoluto do cosseno de θ. Para nos livrarmos do valor absoluto, irei assumir que cosθ é positivo. Mas podemos fazer a suposição de que o cosseno de θ é positivo. Porque se, olharmos bem aqui nessa parte da nossa substituição, se quisermos resolver para θ, dividimos ambos os lados por 2. E teremos "x" sobre 2 é igual ao seno de θ. Ou podemos dizer que θ é igual ao arco seno de "x" sobre 2. A função do arco seno, como é tradicionalmente definida, irá retornar um θ que está entre -π/2 e π/2. Naquela faixa, o cosseno de θ vai sempre ser positivo. Não precisamos escrever o valor absoluto, sabemos que o cosseno de θ é positivo. Podemos começar a simplificar cosseno de θ cancela com cosseno de θ este 2 cancela com este 2, e podemos tirar a raiz quadrada de 2 e sobra "π" sobre a raiz quadrada de 2 vezes a integral indefinida de dθ. Isso vai ser "π" sobre a raiz quadrada de 2 vezes θ mais "c". E quase terminamos, agora só temos que reescrever isso em termos de "x". E sabemos que θ é igual ao arco seno de "x" sobre 2. Então pode-se dizer que esta integral indefinida ou primitiva dessa expressão vai ser "π" sobre a raiz quadrada de 2 vezes o arco seno de "x" sobre 2, mais "c". E terminamos. Alguns não gostam de uma raiz quadrada no denominador. Se você quiser removê-la, basta multiplicar isso pela raiz raiz quadrada de 2 sobre a raiz quadrada de 2, que dá para simplificar. Mas por ora, irei deixar no denominador na forma irracional. Isso bem aqui é a nossa forma primitiva.