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Mais substituição trigonométrica com tangente

Outro problema sobre substituir x por tan(theta) em uma integral. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA14C Vamos supor que você queira fazer a integral de 1 / 36 + x² dx. Deste lado de cá, vamos utilizar identidades trigonométricas. Aqui, vamos utilizar também a identidade trigonométrica, mas em uma substituição de outra forma. Aqui nós podemos escrever essa integral como sendo dx / 36 (1 + x²/36). Por que isso? Porque eu posso fazer agora x²/36 = tg² θ. Por que vou querer fazer isso? Ora, se eu colocar que x²/36 = tg² θ, eu estou dizendo que x/6 = tg θ, estou dizendo que o arco tangente de x/6 é igual a θ, e estou dizendo também que x = 6 vezes tg θ. Também afirmando que x²/36 = tg² θ, aqui nós temos 1 + tg² θ. Ora, mas o que é 1 + tg² θ? É 1 + sen² θ/cos² θ. Colocando no mesmo denominador, temos cos² θ, cos² θ + sen² θ. sen² + cos² = 1. Então, vai ficar 1/cos² θ = sec² θ. Ou seja, 1 + tg² θ = sec² θ. Outro fator importante é que dtg θ/dθ vai ser igual ao quê? A dsen θ/dθ cos θ. Isto aqui é derivada do quociente, então vai ser a derivada do primeiro vezes a derivada do segundo. Vai ficar cosseno vezes cosseno, cos² θ, menos o primeiro, menos seno, vezes a derivada do segundo. A derivada de cosseno é -sen. Então, -sen vezes -sen, vai ficar mais sen² θ, sobre o denominador ao quadrado, ou seja, cos² θ. sen² + cos² = 1. Aqui vai ficar 1/cos² θ = sec² θ. É interessante verificar que sec² θ é dtg θ/dθ. E sec² θ também é igual a 1 + tg² θ. Uma curiosidade, pelo menos. Agora que nós temos que x = 6 tgθ, e temos que dtg θ/dθ = sec² θ, ora, quem é dx/dθ? dx/dθ vai ser d6 tgθ / dθ. Que vai ser igual a 6 vezes dtgθ / dθ. Que vai ser igual a 6 sec² θ. Isso significa dizer que dx = 6 sec² θ vezes dθ. Vamos guardar esse resultado! Então, temos agora o quê? Nós temos que a nossa integral ficou dx / 36 vezes (1 + tg² θ). Ora, mas quem é dx? É 6 sec² θ dθ sobre, aqui ficamos com 36... 1 + tg² θ = sec² θ. Então, aqui nós temos sec² θ. Podemos simplificar. Ficamos com ∫ 1/6 dθ. Isso vai ser igual a 1/6 vezes θ mais uma constante. Ora, mas quem é θ? θ é o arco tangente de x/6. Portanto, a nossa solução para essa integral fica sendo tg⁻¹ (x/6)... Ou seja, 1/6 do arco tangente de x/6 mais uma constante C. Qual seria uma outra solução? Ora nós sabemos que dtg⁻¹ x / dx = 1 / 1 + x². Partindo disso, nós temos que dtg⁻¹ (x/6) / dx, utilizando a regra da cadeia, nós vamos ter 1/6 vezes 1 / 1 + x/6², x² / 36. Ainda não temos o que queremos, então o que nós podemos fazer? Nós podemos multiplicar por 1/6 deste lado, e repetir dtg⁻¹ (x/6) / dx é igual a... 1/6 vezes 1/6 = 1/36, vezes 1 / 1 + x²/36. Então, ficamos aqui com: 1/6 dtg⁻¹ (x/6) / dx é igual a 1 / 36 + x². Integrando de ambos os lados, vamos ter: 1/6 tg⁻¹ (x/6) mais uma constante, e aqui nós temos ∫ 1 / 36 + x² dx, que é a integral que nós queríamos desde o princípio. Portanto, desta forma, chegamos a esse resultado. E, desta outra forma, por propriedades trigonométricas, chegamos ao mesmo resultado. Espero que este vídeo tenha sido útil!