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Substituição trigonométrica e integração por substituição juntas (parte 1)

Toda a substituição! Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Vamos supor que você tenha uma integral do tipo x³ √9 - x² dx. Quando você tem uma integral deste tipo, a primeira coisa que você pode pensar é 9 - x² em termos de 3² - x². Se você pensar em termos de a² - x², onde "x = a senθ", nós ficamos com a² - a² sen²θ Colocando em evidência, nós temos a² (1 - sen²θ). E isso é igual a a² cos²θ. Há uma maneira de você tirar deste radical. Senão, vejamos, podemos igualar "x" a 3senθ. Isto tem duas vantagens. Primeiro, porque este "dx" nós podemos fazer dx / dθ como sendo 3 cosθ. Ou seja, nosso "dx" será igual a 3 cosθ dθ. E fazendo "x = 3 senθ", como é que fica essa expressão? Fica √9 - 9 sen²θ, que fica √9 (1 - sen²θ). Agora, nós podemos tirar o 9 do radical, fica 3 √cos²θ. E julgando que o cosseno é positivo, nós temos 3 cosθ. Ou seja, toda essa expressão ficou 3 cosθ. Esta expressão ficou sendo o nosso "dx" como 3 cosθ dθ e x³ ficou como 3³ vezes sen³θ. Isto é a integral. Agora, veja como aqui nós temos um expoente ímpar, é interessante nós separarmos este senθ se nós quisermos substituir por uma variável 1. Primeiro, vamos ver aqui. Temos 3³ vezes 3 = 3⁴, vezes 3 = 3⁵. E vamos colocar do lado de fora 3⁵. Integral de quê? Em vez de sen³, vamos colocar sen²θ, vezes cos²θ, vezes o senθ dθ. Agora, sim, podemos substituir uma variável "u" por cosθ. Então, quem vai ser du / dθ? du / dθ, a derivada, vai ser -senθ. Ou seja, nosso "du" vai ser igual a -senθ dθ. Nós não temos aqui -senθ, mas podemos multiplicar por -1 aqui e multiplicar por -1 aqui. Então, ficamos com -3⁵, a integral de, em vez de sen²θ, vamos colocar em função de cosseno, já que o cosseno nós estamos igualando a "u". Então, ficamos com (1 - cos²θ), vezes o cos²θ. E aonde tem -senθ dθ, nós estamos chamando de "du". Aonde tem cos²θ, será nosso u². Então, ficamos com -3⁵ integral de (1 - u²) vezes u², vezes "du". Agora, a integral ficou bem simples, pois podemos abrir estes parênteses, e ficamos com (u² - u⁴) du. Integrando nós temos, -3⁵ vezes "u³/3 menos u⁵/5" mais uma constante "c". E trocando o sinal aqui, só para ficar mais bonito, ficamos com 3⁵ (u⁵/5 - u³/3) mais uma constante "c". Então, conseguimos integrar em relação à variável "u". Nos próximos vídeos, vamos ver como se relaciona com θ e depois, como se relaciona com "x".