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Substituição trigonométrica e integração por substituição juntas (parte 2)

Mais de toda a substituição! Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - No último vídeo, para avaliar esta integral indefinida, primeiro fizemos uma substituição onde "x = 3senθ", e isso nos levou a uma integral com esta forma. Então, fomos capazes de separar esses senos e cossenos e de usar as identidades trigonométricas para chegar a uma forma onde pudéssemos fazer uma substituição por "u". Fizemos outra substituição onde fizemos "u = cosθ". E, finalmente, conseguimos deixá-la em um formato adequado para mais uma substituição, e desta vez, foi uma substituição por "u". Conseguimos deixá-la em uma forma para qual podemos fazer a antiderivada. Aqui, encontramos a resposta final em termos de "u". Agora, temos que desfazer tudo isso, temos que desfazer as substituições. A última substituição que fizemos, nós iríamos na ordem inversa, fizemos "u = cosθ", então, você poderia querer substituir "u" por cosθ aqui, mas então teríamos tudo em termos de cosθ, o que não nos dá "x". Então, o ideal seria expressar "u" em termos de "x". Vamos ver como podemos fazer isso. Sabemos que "u = cosθ". Conhecemos a relação entre "x" e θ. Está bem aqui. "x = 3 senθ". Vamos escrever isto aqui. Sabemos que "x = 3senθ", então, se pudéssemos escrever cosseno, deixe-me de escrever de forma diferente. Ou poderíamos dizer que x/3 = senθ, eu apenas dividi os dois lados por 3. Então, você pudéssemos, de alguma forma, expressar isso em termos de senθ, poderíamos substituir todos os senθ por "x" dividido por 3, e pronto. Como podemos fazer isso? Vou mostrar duas técnicas para fazer isto. A primeira é fazer a conversão, ok? u = cosθ. Se eu quiser escrever isto em termos de senθ, eu posso apenas dizer que isto é igual a, de forma direta, esta é a identidade trigonométrica mais fundamental. cosθ = √1 - sen²θ. Vemos que senθ = x/3, então isto é a raiz quadrada de 1, menos (x/3) ao quadrado. Então, este é "u" em termos de "x". Em todos os lugares que vemos "u", podemos substituir por esta expressão. E praticamente acabamos. Teríamos isto escrito em termos de "x". Agora, temos essa outra técnica, que você pode ver em algumas aulas de cálculo. Quando alguém diz: ok, nós sabemos que "u = cosθ", nós conhecemos essa relação. Como podemos expressar "u" em termos de "x"? E iremos dizer: vamos desenhar um triângulo reto. Irão desenhar um triângulo reto como este e dizer: ok, veja, "senθ = x/3". Então, se dissemos que este é θ, bem aqui, senθ, vai ser a mesma coisa que o oposto sobre a hipotenusa. Oposto sobre a hipotenusa é igual a x/3. Então, vamos dizer que isso é "x", então, isto aqui é 3, o senθ vai ser x/3. Assim, olhamos para aquela primeira substituição ali, mas para descobrir o que é "u" em termos de "x", precisamos descobrir o que é cosθ. Bem, cosseno é o lado adjacente sobre a hipotenusa, então, temos que descobrir o que o lado adjacente é. Bem, podemos usar o teorema de Pitágoras para isso. O teorema de Pitágoras diz que isto vai ser a raiz quadrada do quadrado da hipotenusa, que é 9 - x². Então disso, temos resolvido o triângulo retângulo em termos de "x". Podemos perceber que cosθ vai ser igual ao lado adjacente vezes √9 - x²/3, que é o mesmo que 1/3 vezes √9 - x², que é o mesmo que se elevarmos 1/3 ao quadrado e colocarmos no radical. Então, essencialmente, vamos tirar a raiz, 1/3 é o mesmo que a √1/9, então, vamos reescrever isto como √1/9 (9 - x²). Basicamente, apenas levamos 1/3 para dentro do radical. Agora é 1/9. Isso vai ser o mesmo que √1 - x²/9, que é exatamente isto aqui. x²/9 é o mesmo que (x/3)². De qualquer forma, você chega no mesmo resultado. Se eu uso a identidade trigonométrica bem aqui para expressar cosθ em termos de senθ, e então, apenas faço a substituição para ser um pouco mais direto. Mas agora, podemos apenas substituir na equação original, nos dois, e eu posso escrever isso em ambas as formas, esta coisa aqui é o mesmo que é (1 - x²/9) elevado a 1/2. Isso é o que vou igualar, e em todos os lugares que vemos "u", podemos substituir por isto. Então, nossa resposta final em termos de "x" vai ser igual a 243 vezes u¹/⁵. Isto elevado a 1/5 é 1 - x²/9. Era elevado a 1/2, mas elevamos a 1/5. Agora, vai ser elevado a 5/2 sobre 5 menos isso elevado ao cubo, 1 - x²/9 elevado a 3/2 elevado isso ao cubo. É isto bem aqui, sobre 3 e tudo isso mais "c". E terminamos. É bagunçado, mas usando primeiro a substituição trigonométrica e então a substituição por "u", ou a substituição trigonométrica e rearranjando usando algumas de nossas técnicas de manipulação desta potência de funções trigonométricas, chegamos em uma forma onde podemos usar substituição por "u". Então, podemos desfazer todas as substituições e finalmente calcular o valor da integral.