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Integração por substituição: integral definida de função exponencial

Como calcular a integral definida de 0 a 1 de x²⋅2^(x³). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - O que eu quero fazer, neste vídeo, é calcular a integral definida com os limites de integração indo de zero até 1 da função x² vezes 2ˣ³ dx. Quando a gente olha para esta integral logo de cara, a gente logo leva um susto, e fica perguntando: "como é que nós podemos resolver isso?" No entanto, você deve se lembrar da função "e", não é? Em que você está muito acostumado a calcular a derivada em relação a "x" da função eˣ. Afinal, a derivada de eˣ é o próprio eˣ. Você também está muito acostumado a calcular a antiderivada eˣ, certo? Afinal, antiderivada de eˣ dx é igual ao próprio eˣ, claro, mais uma constante. Então, se você já está acostumado com isso, é interessante a gente pegar esta parte aqui e fazer uma substituição por algo que tenha "e", porque assim, a gente vai começar a observar isso de uma forma mais parecida com esta e que vai nos ajudar a resolver esta integral. Mas como eu posso transformar este 2ˣ³ em algo elevado a ''e"? Pelas propriedades do logaritmo, a gente já sabe que 2 vai ser igual a eˡⁿ², certo? Já que todas as vezes que a gente tem o "e" ao "ln" de alguma coisa, isso vai ser igual a essa coisa, então eˡⁿ² = 2. Sendo assim, a gente pode dizer que 2 é igual eˡⁿ². Mas a gente ainda tem esse x³ aqui, não é? O que nós poderíamos fazer aqui, então, é elevar esses dois lados da equação ao x³. Assim, nós vamos ter aqui, deixe-me colocar este 2 só um pouquinho mais para a esquerda, para a gente ter mais espaço. Assim a gente vai ter 2ˣ³, e este lado aqui a gente também vai ter esse (eˡⁿ²)ˣ³. E isto vai ser igual a quê? A gente vai ter aqui o "e" elevado a alguma coisa. Que coisa? Todas as vezes que a gente tenha "ln" de alguma coisa elevado a outra coisa, isso vai ser a mesma coisa que esta coisa aqui vezes esse "ln". Então, a gente vai ter este eˣ³ vezes o "ln", o logaritmo natural de 2. Então, isto aqui já é bem mais semelhante com o que nós estamos acostumados, e a gente pode até fazer uma substituição aqui. Então, vamos calcular esta integral. Não vamos nos preocupar com a parte definida agora com esses limites de integração não, tudo bem? Vamos calcular apenas a integral indefinida por enquanto, depois, a gente volta aqui e se preocupa com isso. Então, a gente tem que a integral indefinida de x² vezes 2ˣ³ dx é igual à integral de x² vezes 2ˣ³, só que 2ˣ³ é a mesma coisa que este eˣ³ˡⁿ² Então, a gente pode até colocar isso aqui. Inclusive, eu vou copiar toda esta parte aqui e já colocar logo aqui. Não podemos esquecer do "dx" no final, certo? Porém, isso aqui ainda fica um pouco confuso para a gente resolver. Como é que a gente pode resolver esse eˣ³ˡⁿ²? Uma forma de fazer isso é utilizando um método de substituição. A gente poderia, por exemplo, substituir tudo isso aqui por "u". Mas será que daria certo? Sim, porque se a gente substituir isso aqui por "u" e derivar, a gente vai ter 3x²ˡⁿ², já que o ln2 é uma constante, a gente precisa apenas derivar esta parte. Então, nós vamos ter um x²dx e que a gente vai poder substituir por este x²dx aqui. Então, vamos fazer isso, vamos utilizar esse método de substituição. A gente vai falar que "u" vai ser igual a x³ vezes ln2. Aí a gente vai derivar esse "du" e derivar este lado em relação a "x". Então, a gente vai ter aqui, 3x² vezes ln2 dx. A gente pode rearranjar ainda isso aqui, e colocar x² vezes 3ln2 dx. E lembrando, que se a gente tem um número aqui, a gente pode colocá-lo aqui no expoente deste outro, que está dentro do "ln". Então, isso aqui vai ser igual a x² vezes ln2³. e 2³ é igual a 8, então, nós vamos ter x² vezes ln8 dx. Não podemos esquecer do "dx" aqui também não. Então, nós temos esse x² dx aqui que já temos aqui nesta parte, certo? Então, a gente já consegue fazer uma substituição por esse "du". Quer dizer, quase, porque a gente ainda tem que se preocupar com este ln8 aqui. E a gente não tem esse ln8 aqui, mas o que a gente poderia fazer para colocar um ln8 aqui? Simples, multiplicando e dividindo por ln8. Então, a gente vai ter aqui, o ln8 dividido pelo ln8. Aí a gente já vai ter o ln8 vezes x² dx, que é igual ao "du". Porém, este ln8 aqui que está no denominador, pelo fato de ser uma constante, a gente pode colocá-lo para fora da integral. Assim, a gente teria 1/ln8 vezes a integral de ln8 vezes x² vezes tudo isso aqui "dx". Aí sim a gente pode substituir esse ln8 vezes x² dx pelo "du". Então isso tudo aqui vai ser igual a 1/ln8 vezes a integral de eᵘ du. E bem, agora é fácil né, a gente consegue resolver esta integral aqui com muita facilidade. A integral de eᵘ du igual a eᵘ mais uma constante. Então, tudo isso vai ser igual a 1/ln8 vezes eᵘ mais uma constante. Inclusive agora, a gente já pode substituir este "u" pelo que a gente já tinha antes, assim, toda esta expressão vai ser igual a 1/ln8 vezes eᵘ, que é x³ vezes ln2. Isso tudo mais uma constante. Beleza! Agora que já calculamos a integral indefinida, a gente pode voltar aqui e calcular a integral definida com esses limites de integração. Então, vamos copiar esta parte aqui e colocar aqui embaixo para a gente calcular isso. Lembrando que os nossos limites de integração aqui vão do zero até 1. Então, isso vai ser igual a esta integral aqui calculada neste ponto 1 menos esta integral calculada no ponto zero. Lembrando que a gente pode esquecer dessa constante porque ela vai acabar se anulando quando a gente fizer esta subtração. Então, nós vamos ter apenas aqui, 1/ln8 vezes "e" elevado a 1³, e 1³ = 1. 1 vezes o ln2 = ln2, menos tudo isso calculado no ponto zero. Então, a gente vai ter 1/ln8 vezes e⁰ elevado ao cubo, vezes ln2 é igual a zero. Isso vai ser igual a quanto? eˡⁿ² = 2. E e⁰ = 1. Então, nós vamos ter 2/ln8 - 1/ln8, que é igual a 1/ln8. E essa aqui é a resposta da nossa integral definida. Então, a integral definida com os limites de integração indo de zero a 1 da função x² vezes 2ˣ³ é igual a 1/ln8.