Exemplo resolvido: continuidade em um ponto (gráfico)

RKA4JL - O que nós queremos fazer neste vídeo é a partir deste gráfico, que representa uma função y igual a g(x), verificar estas alternativas e ver quais, ou qual, delas são verdadeiras. A primeira opção diz que tanto o limite de g(x) com x tendendo a 6 pela direita quanto o limite de g(x) com x tendendo a 6 pela esquerda existem. Vamos verificar isso e ver se essa alternativa está correta. Inicialmente a gente vai observar o gráfico da função, e vamos nos aproximar de x tendendo a 6 pela direita e ver se o limite dessa função existe nesse ponto. Inicialmente a gente poderia pegar aqui, por exemplo, em x igual a 9. No x igual a 9 a gente tem uma função igual a -3. Depois, no x igual a 8, a gente tem uma função um pouco menor que -3, algo em torno de -3,4. Depois, no x igual a 7, a gente teria algo mais ou menos parecido, mas um pouquinho, levemente maior do que o ponto anterior. Depois se pegasse 6,5, a gente teria um valor ainda menor que o anterior, por exemplo um y sendo igual a -3,2. À medida que a gente se aproxima do 6, por exemplo 6,3, a nossa função vai ficando cada vez mais próxima do -3 até um ponto em que a gente chegue no 6,0000001, e ela é muito próxima a -3. Então a gente pode perceber que à medida que x está se aproximando de 6 pela direita, a função está tendendo a -3. Então sim, o limite de g(x) com x tendendo a 6 pela direita existe e é igual a -3. Agora, será que o limite com x tendendo a 6 pela esquerda vai existir? Vamos verificar aqui. Quando x é igual a 3, a gente tem y igual a 1,5. Quando a gente tem um x igual a 4, temos y muito próximo a 2. Quando o nosso x é 5, y é igual a 3. Se a gente pegar x a 5,5, vamos ter um y igual a 5. Se a gente pegar x igual a 5,8, vamos ter um y igual a 9. Se a gente pegar um x igual a 5,999999, vamos ter um y cada vez maior aqui e à medida que a gente se aproxima do 6 pela esquerda, a nossa função vai ter um valor cada vez maior. Então a gente pode dizer que não existe um limite para essa função quando x tende a 6 pela esquerda. Existem algumas pessoas que dizem que esse limite é infinito, mas tecnicamente falando o infinito não é necessariamente um número, então a gente não pode dizer que esse limite existe. Assim, quando a gente tem um limite de g(x) com x tendendo a 6 pela esquerda, ele não existe. Então a gente não pode marcar essa opção. Segunda opção: o limite de g(x) existe quando x tende a 6? Quando a gente está falando que x tende a 6 é o limite global, ou seja, nós estamos querendo saber se existe um limite para essa função quando x tende a 6 independente de ser pela esquerda ou pela direita. Como sabemos, para existir esse limite é necessário que os limites laterais existam e que esses limites sejam iguais. Como vimos aqui, apesar do limite de x tendendo a 6 pela direita existir, o limite de g(x) com x tendendo a 6 pela esquerda não existe, então o limite de g(x) com x tendendo a 6 também não existe. g(x) é definido em x igual a 6? Como podemos observar, aqui a gente tem um salto no x igual a 6, certo? Se a gente tem este salto, significa que a função não é definida nesse ponto, então g(x) não é definido em x igual a 6. g(x) é contínua em x igual a 6? Para que g(x) seja contínua em x igual a 6, é necessário que os limites laterais existam, é necessário que esses limites sejam iguais e é necessário que esses limites sejam iguais à função no ponto x igual a 6. Um dos limites laterais não existe, então a gente já pode jogar isso aqui por terra, e o limite de g(x) também não existe nesse ponto, então realmente a função g não é contínua em x igual a 6. Então a gente poderia marcar apenas esta alternativa, "nenhuma das alternativas anteriores". Nenhuma delas está correta. Vamos fazer um outro exemplo. Novamente a gente vai observar uma função e avaliar cada uma dessas alternativas. Tanto o limite de g(x) com x tendendo a 3 pela direita quanto o limite de g(x) com x tendendo a 3 pela esquerda existem? Vamos avaliar. Inicialmente a gente vai avaliar a função com x tendendo a 3 aqui pela direita. Se a gente pegar aqui um x igual a 6, teremos algo igual a -3,5. Pegando um x igual a 5, a gente tem algo igual a -3,3. Se a gente vai pegar x igual a 4, vamos ter algo igual a -2,8 mais ou menos. Pegando x igual a 3,5, a gente vai ter algo igual a -2,4. Pegando 3,1, vamos ter -2,1 mais ou menos. À medida que a gente for se aproximando de x igual a 3 pela direita, a nossa função vai se aproximando de -2. Então a gente pode dizer que o limite de g(x) quando x tende a 3 pela direita existe e é igual a -2. Então sim, o limite existe e é igual a -2. Agora será que o limite de g(x) com x tendo a 3 pela esquerda existe? Vamos avaliar aqui. Quando a gente pegar um x igual a 1, teremos algo mais ou menos igual a 0,9. x igual a 1,6 vai ser igual a zero. Com x igual a 2, a gente vai ter uma função mais ou menos igual a 0,5. Em x igual a 2,5 vamos ter algo igual a 1,4 mais ou menos. Se pegar agora um x igual a 2,9, gente vai ter 1,8 e à medida que a gente for se aproximando do 3, nossa função vai se aproximando de 2. Então sim, o limite de g(x) com x tendendo a 3 pela esquerda existe e é igual a 2. Então sim, os dois limites existem, tanto o limite com x tendendo a 3 pela direita quanto o limite com x tendo 3 pela esquerda. Agora, será que o limite de g(x) existe? Para que o limite de g(x) com x tendendo a 3 exista, é necessário que os dois limites laterais existam, e a gente já conferiu aqui e viu que eles existem, mas também é necessário que os dois limites sejam iguais. A gente viu que o limite de g(x) com x tendo a 3 pela direita é igual a -2 e o limite de g(x) com x tendendo a 3 pela esquerda é igual a 2. Sendo assim, esses dois limites são diferentes. Se os dois limites laterais são diferentes, a gente não pode dizer que o limite da função com x tendendo a esse ponto, que é o ponto x igual a 3, existe, então não, ele não existe. g(x) é definido em x igual a 3? Como podemos observar aqui, a gente tem um ponto fechado. Esse ponto está fechado e está marcado. Então se esse ponto está fechado desse jeito, significa que a função é definida nesse ponto x igual a 3, e nesse ponto x igual a 3 a gente tem uma função sendo igual a 2. Então sim, g(x) é definido em x igual a 3. g(x) é contínuo em x igual a 3? Para que a função seja contínua em um ponto, é necessário que o limite da função exista nesse ponto e que ele seja igual aos limites laterais. Além disso é necessário também que a função seja definida nesse ponto. A gente já viu que a função é definida nesse ponto, porém os limites laterais são diferentes, e os limites laterais sendo diferentes significa que o limite da função não existe nesse ponto. Sendo assim, a gente não tem uma função contínua nesse ponto. Nenhuma das anteriores? A gente já viu aqui que temos duas corretas. A gente tem apenas que os limites laterais existem e que essa função é definida nesse ponto x igual a 3.