Exemplo de desafio de pontos de descontinuidade

O gráfico de uma função f é mostrado abaixo. Se ambos os limites de f(x), quando x tende a k, e f(k) existem, e a função f não é contínua em k, então qual é o valor de k? Assim, temos que encontrar um k tal que f não seja contínua em k, mas para o qual a função f(k) seja definida. E, para o qual, o limite de f(x), quando x tende a k, esteja definido também. O jeito mais fácil de começar deve ser visualizando onde f não é contínua. Onde a função f não é contínua. Então, veja aqui, quando x é igual a -2, a função não é contínua. Ela salta daqui, parece que se aproxima de três, e então salta direto para -3. Então esse é um de nossos candidatos. Este é um de nossos candidatos a k. A outra descontinuidade acontece quando x é igual a três. Saltamos de aproximadamente quatro e meio, para -4. Então temos outro candidato. Esse é um ponto onde f não é contínua. E aí temos que, quando x é igual a oito, temos isso. Quando nos aproximamos, parece que estamos chegando a um. Mas então saltamos direto para x igual a oito. E então continuamos a partir de um novamente. Este é outro candidado. Temos assim três candidatos onde a função não é contínua. Agora vamos pensar sobre qual desses pontos, em qual desses valores de x, a f(k) existe. Então, se um desses é k, f(k) existe? Bom, f(-2) existe. f(3) existe, logo aqui. Essa é f(3). E essa é f(-2). E f(8), também existe. Então todos esses k em potencial atendem à essa condição, f(k) existe e f não é contínua em k. Isso é verdadeiro para x igual a oito, três ou -2. Vamos pensar agora sobre a primeira condição. O limite de f(x) quando x tende a k deve existir. Bem, se observarmos x igual a dois, o limite de f(x) quando x tende a -2, quando x tende a -2 aqui, no limite à esquerda, no limite dos valores menores que -2, aparenta que nossa função se aproxima de um valor maior... parece que é um pouco maior que três. E no limite à direita, parece que nossa função se aproxima de -3. Então para este o limite não existe. Você tem limites diferentes à direita e à esquerda. A mesma coisa ocorre para x igual a três. O limite à esquerda parece que se aproxima de quatro e meio, enquanto o limite à direita se aproxima de -4. Então este deixa de ser um candidato. Só sobrou um candidato. Para este o limite deve existir. E podemos ver que o limite de f(x) quando x tende a oito, da direção negativa, é próximo de um. E quando nos aproximamos de oito, pela direção positiva, o limite de f(x), para x tendendo a oito, é um, também. Então os limites laterais, esquerdo e direito, têm o mesmo valor. Então o limite de f(x), para x tendendo a oito, é um. Esse limite existe. Agora, a razão pela qual a função não é contínua nesse ponto é que o limite de f(x) quando x tende a oito, que é um, não é igual a f(8), f(8), como podemos ver, é igual a sete. E por isso atende à última condição. A função não é contínua ali. A função existe. É definida, f(8) é igual a sete. E o limite existe. Mas o limite de f(x), quando x tende a k, não é o mesmo que o valor da própria função naquele ponto. Então x igual a oito atende a todas as condições. Assim podemos dizer que k igual a oito.