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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 7: Continuidade em um pontoExemplo de desafio de pontos de descontinuidade
Com base na definição de continuidade, podemos ver a relação entre pontos de descontinuidade e limites bilaterais. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
O gráfico de uma função f
é mostrado abaixo. Se ambos os limites de
f(x), quando x tende a k, e f(k) existem, e a função f
não é contínua em k, então qual é o valor de k? Assim, temos que encontrar um k
tal que f não seja contínua em k, mas para o qual a função
f(k) seja definida. E, para o qual, o limite de f(x),
quando x tende a k, esteja definido também. O jeito mais fácil de começar deve ser visualizando
onde f não é contínua. Onde a função f não é contínua. Então, veja aqui,
quando x é igual a -2, a função não é contínua. Ela salta daqui, parece que se aproxima de três, e então salta direto para -3. Então esse é um de nossos
candidatos. Este é um de nossos
candidatos a k. A outra descontinuidade
acontece quando x é igual a três. Saltamos de aproximadamente
quatro e meio, para -4. Então temos outro candidato. Esse é um ponto onde f não é contínua. E aí temos que,
quando x é igual a oito, temos isso. Quando nos aproximamos,
parece que estamos chegando a um. Mas então saltamos
direto para x igual a oito. E então continuamos
a partir de um novamente. Este é outro candidado. Temos assim três candidatos onde a função não é contínua. Agora vamos pensar
sobre qual desses pontos, em qual desses valores de x,
a f(k) existe. Então, se um desses é k,
f(k) existe? Bom, f(-2) existe. f(3) existe, logo aqui. Essa é f(3). E essa é f(-2). E f(8), também existe. Então todos esses k
em potencial atendem à essa condição, f(k) existe e f não é contínua em k. Isso é verdadeiro para x igual
a oito, três ou -2. Vamos pensar agora
sobre a primeira condição. O limite de f(x) quando x tende a k
deve existir. Bem, se observarmos x igual a dois,
o limite de f(x) quando x tende a -2, quando x tende
a -2 aqui, no limite à esquerda,
no limite dos valores menores que -2,
aparenta que nossa função se aproxima de um valor maior... parece que é um pouco
maior que três. E no limite à direita,
parece que nossa função
se aproxima de -3. Então para este
o limite não existe. Você tem limites diferentes
à direita e à esquerda. A mesma coisa ocorre
para x igual a três. O limite à esquerda
parece que se aproxima de quatro e meio,
enquanto o limite à direita se aproxima de -4. Então este deixa de ser um candidato. Só sobrou um candidato. Para este o limite deve existir. E podemos ver que o limite
de f(x) quando x tende a oito, da direção negativa, é próximo de um. E quando nos
aproximamos de oito, pela direção positiva,
o limite de f(x), para x tendendo a oito, é um, também. Então os limites laterais,
esquerdo e direito, têm o mesmo valor. Então o limite de f(x),
para x tendendo a oito, é um. Esse limite existe. Agora, a razão pela qual
a função não é contínua nesse ponto é que o limite de f(x)
quando x tende a oito, que é um, não é igual a f(8), f(8), como podemos ver,
é igual a sete. E por isso atende à última condição. A função não é contínua ali. A função existe. É definida, f(8) é igual a sete. E o limite existe. Mas o limite de f(x),
quando x tende a k, não é o mesmo que o valor da própria função naquele ponto. Então x igual a oito
atende a todas as condições. Assim podemos dizer que k igual a oito.