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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Funções contínuas em todos os números reais
Neste vídeo, precisamos determinar qual das seguintes funções é contínua para todos os números reais: eˣ e/ou √x. Em geral, as funções comuns são contínuas para todos os números em seu domínio.
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Transcrição de vídeo
RKA7MP - Quais das funções abaixo
são contínuas no conjunto dos números reais? Vamos nos lembrar
o que é uma função contínua. Aqui você tem o eixo do "y". Aqui você tem o eixo do "x". Uma função pode vir desta forma, fazer isto, depois, fazer isto. Mas embora ela tenha um ponto de quebra, ela é contínua, ou seja,
em outras palavras, uma função contínua, "f" é contínua em "a" se, somente se o limite da função f(x), quando "x" tende a "a", for igual a f(a). Então, o que são funções descontínuas? São funções que têm um ponto onde
ela faz um pulo, por exemplo, a função vem até aqui e daqui para cá ela tem um pulo
e continua, isto aqui é uma função descontínua. Outras são aquelas
que têm assíntotas, ou seja, uma função como esta aqui faz isto, e esta aqui faz isto assim, ela não é definida neste ponto zero. Outra, ela pode ter simplesmente uma parte do eixo "x" que não é definida, ou seja, ela vem até aqui e pula para um
determinado ponto, e durante todo este espaço,
ela não é definida. Nós podemos já tirar de cara a função g(x) igual a √x, pois ela não é definida para "x" negativo. Esta função não é contínua. Agora, vamos ver o gráfico da função f(x) igual a eˣ. É um gráfico, e vai fazer isto, ele vai de menos infinito
até mais infinito e ele é definido em todo o "x". E ela é contínua,
ela não tem interrupções, ela não tem pulos. Ela poderia até ter uma quebra,
não é o caso. E você poderia pegar
para qualquer valor de f(x) quando "x" tende a "a", é igual a f(a). Portanto, apenas a função "f" é contínua.