Definição formal de limites (parte 2): formação da ideia

RKA7MP - Vamos tentar chegar a uma definição matematicamente rigorosa para o que esta afirmação significa. A afirmação de que o limite de f(x), conforme "x" se aproxima de "c", é igual a "L". Digamos que isto quer dizer que você pode obter um f(x) tão próximo de "L" o quanto quiser, repare, eu coloquei aspas aqui, ao colocar "x" suficientemente perto de "c". Você pode obter um f(x) tão próximo de "L" o quanto quiser ao colocar "x" suficientemente perto de "c". Outra forma de dizer isto seria falar que quer que o f(x) esteja a 0,5 deste limite. Você estaria dizendo que se este limite fosse verdadeiro, você poderia me dar um valor perto de "c", de forma que, se "x" estiver dentro desta distância, f(x) estará tão próximo de "L" quanto eu desejar. Deixe-me desenhar para ficar um pouco mais claro. Vou ter que desenhar outro diagrama. Vamos lá! Vamos começar a desenhar. Vou apagar, fazer de novo. Eu vou desenhar uma função levemente diferente só para que possamos realmente focar no que está acontecendo. Aqui, no alcance ao redor de "c" e no alcance ao redor de "L". Aqui temos o "x" e aqui temos o "y", e digamos que o "c" esteja bem aqui. Vamos nos aproximar ainda mais da função. Digamos que a função se comporte desta maneira, digamos que a função se pareça com isto. Ela vai ser indefinida neste ponto, ela é indefinida quando "x" é igual a "c". Este é o ponto no qual há um buraco, a função é indefinida quando "x" é igual a "c". E nós queremos provar o limite de f(x). Eu vou escrever aqui para deixar claro que este é o gráfico de "y" igual a f(x). Nós queremos ter uma ideia sobre o que esta definição representa. Se estamos dizendo que o limite de f(x), conforme "x" se aproxima de "c", é "L", conceitualmente, já entendemos como isto funciona. Nós já encontramos a essência do problema. Entendemos que isto é o "L". Mas o que a definição está dizendo? Está dizendo que você pode escolher um ponto em f(x) tão próximo de "L" o quanto quiser. Se nós quisermos encontrar o f(x) a uma certa distância de "L", se este limite for realmente verdadeiro, se o limite de f(x), conforme "x" se aproxima de "c", for realmente igual a "L", deveria existir uma distância ao redor de "c", de forma que desde que "x" esteja dentro desta distância, o seu f(x) estará dentro do alcance que quiser. Deixe-me eu fazer um exercício. Isto funciona um pouco como um jogo. Alguém lhe diz que não acredita, necessariamente, que o limite de f(x), conforme "x" se aproxima de "c", seja "L", mas concorda com esta definição. Então, quer chegar ao alcance de 0,5, quer que f(x) esteja 0,5 de "L". Então, bem aqui, isto aqui vai ser "L", mais 0,5, e aqui vai ser "L" menos 0,5. E você diz que vai me dar uma distância ao redor de "c", de forma que você possa pegar qualquer "x" dentro desta distância e o f(x) sempre cairá no alcance por que você se importa. Você se depara com isto e, claro, a gente ainda não definiu a função, mas você pode até estimar de que forma esta função é definida. Não é fácil assim como todas as funções, mas você se depara com isso e pensa que este valor aqui, da forma como está desenhado, pode ser "c" menos 0,25. E aqui, pode ser algo como "c" mais 0,25. E você diz: "Desde que seu 'x' esteja a 0,25 de 'c', ou seja, desde que seus valores de 'x' estejam em algum ponto nesta região, o valor de f(x) correspondente estará nesta região que já estabelecemos." Legal, deu certo, você venceu este turno. Mas deixe-me apertar ainda mais esta distância. Em vez de usar 0,5, quero chegar a 0,05 de "L". Você teria que fazer este exercício mais uma vez e teria que encontrar outro raio de distância. E para que este limite seja verdade, você teria que aplicar este exercício para qualquer distância estabelecida. Para qualquer distância estabelecida ao redor de "L", você tem que ser capaz de ter f(x) dentro desta distância, encontrando um raio ao redor de "c" no eixo "x", de forma que seu f(x) correspondente esteja dentro desta distância de "L" no eixo "y". Espero que esteja fazendo sentido. Fizemos o exemplo de alguém estabelecendo a distância de 0,5, e eu quero f(x) a menos de 0,5 de distância de "L". E você diz que isso será verdade para qualquer valor de "x", a menos de 0,25 de distância de "c". Você deve ser capaz de fazer isto com qualquer distância estabelecida ao redor de "L", então este limite será, de fato, verdadeiro. No próximo vídeo, iremos generalizar esse raciocínio. Isso nos trará para a famosa definição do limite de epsilon-delta.