Limites no infinito de funções racionais com trigonometria (limite indefinido)

RKA3JV - Vamos supor que você queira saber o limite de x² + 1 / sen(x), quando "x" tende ao infinito. x² é um número que, no mínimo, tem um valor igual a zero. Portanto, o numerador sempre vai ser positivo. Quando ele tender ao infinito ou menos infinito, o numerador vai tender a infinito. Agora, vamos ver o que está acontecendo com o denominador. O denominador, o sen(x), vai variar entre -1 e 1. Ou seja, aqui ele vai ter um valor mínimo absoluto quando o seno do número for -1, ou quando o seno do número for +1. E vai ter um número máximo, ou seja, dividido por um número próximo de zero, quando sen(x) for próximo de zero. Então, ele vai estar oscilando, no total, com sinais negativos e positivos, quando você tende pela esquerda para sen(x) tendendo para zero. Ou seja, o sen(x) tende para zero pela esquerda, o limite tende a menos infinito. Quando nós temos o sen(x) tendendo para zero pela direita, ou seja, com sen(x) positivo tendendo para zero pela direita, ele tende para mais infinito. Portanto, é uma função oscilatória, não tem limite. Ou seja, o limite não existe. Vamos ver o gráfico para avaliarmos o que está acontecendo. Nós temos aqui o gráfico e assíntotas verticais que você tem mais ou menos infinito. Portanto, o que mostra claramente que o limite de x² + 1 sobre sen(x) quando "x" tende a infinito, não existe.