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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 20: Limites no infinito (assíntotas horizontais)- Introdução aos limites infinitos
- Limites no infinito de funções racionais (Parte 1)
- Limites no infinito de funções racionais (Parte 2)
- Limites no infinito de funções racionais
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência ímpar)
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência par)
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas
- Limites no infinito de funções racionais com trigonometria
- Limites no infinito de funções racionais com trigonometria (limite indefinido)
- Limites no infinito de funções racionais com trigonometria
- Limite no infinito de uma diferença de funções
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Limite no infinito de uma diferença de funções
Neste vídeo, determinamos o limite no infinito de √(100+x)-√(x). Versão original criada por Sal Khan.
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- could I ignore the 100 and make square root of x minus square root of x? its more fast kkk(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos pensar um pouco no limite
de raiz quadrada de (100 mais x) menos raiz quadrada de x quando x tende ao infinito. Mas antes de começar, pause o vídeo agora
e veja se você consegue resolver isso sozinho. Muito bem, assumindo que você já fez isso,
vamos lá. Dê uma olhada dentro desse radical.
A gente tem o número 100. E o 100 é um número razoavelmente grande. Entretanto, como a gente vai fazer x tender a infinito, estamos fazendo x tender a números muito, muito exagerados, números realmente muito grandes. Estamos falando aqui de milhão, bilhão, trilhão, o que faz o 100 ser um número praticamente insignificante, é um número que não vai mudar muita coisa. Então vamos escrever isso. Para um x realmente grande, se a gente tem um x assumindo valores enormes, então para x realmente grande, o que vai acontecer? A gente vai ter que a raiz quadrada
de (100 mais x), como x é um número muito grande,
o 100 não vai alterar muito dentro desse radical. Isso aqui vai ser aproximadamente igual
à raiz quadrada do próprio x, ou, seja x é tão grande que acrescentar 100 nele vai mudar muito pouco em relação ao resultado da raiz quadrada. Voltando aqui, como a gente quer calcular
o limite de raiz quadrada de (100 mais x) menos raiz de x, como esses dois aqui são praticamente iguais, que é o que a gente acabou de escrever, que eles são muito próximos um do outro
quando x tende ao infinito, então é razoável a gente pensar que esse limite,
quando a gente fizer x tender a infinito, isso aqui vai tender a zero. Mas vamos trabalhar essa expressão aqui algebricamente agora para a gente se convencer disso e ter certeza de que essa intuição que a gente teve
realmente está no caminho certo. Então vamos reescrever essa expressão para ver se a gente consegue, colocando em uma forma mais adequada, que fique mais interessante analisar o limite
de quando x vai para o infinito. Então vamos fazer aqui a raiz quadrada de (100 mais x) menos a raiz quadrada de x. É isso o que a gente vai tentar escrever de outra forma,
de uma forma equivalente para isso. O que você pode olhar aqui
quando tem soma ou subtração de raízes, uma primeira ideia que pode vir, é que você saia multiplicando isso, digamos,
pelo conjugado dessa expressão com o objetivo de tentar eliminar essas raízes. Entretanto a gente não pode
sair multiplicando por qualquer coisa, senão a gente altera a expressão. A gente tem que tentar escrevê-la de outra forma, mas que continue sendo ela na essência,
não pode mudar a expressão. Então a gente vai multiplicar por 1. Se a gente multiplica uma coisa por 1,
não se altera o resultado. Então para multiplicar por 1
vou fazer o seguinte, vou multiplicar por raiz quadrada de (100 mais x), que é aquele primeiro termo
que a gente tinha aqui, e agora a gente vai multiplicar por (mais raiz quadrada de x). Então vou multiplicar, digamos,
como se fosse o conjugado daquela expressão ali. Então estou multiplicando por isso,
o mesmo carinha, só que em vez de negativo,
a gente vai colocar positivo, então vamos somar esses dois termos. Como a gente não quer mudar o resultado,
a gente vai multiplicar por essa expressão e também vai dividir por essa expressão. Então vou dividir por raiz quadrada de (100 mais x)
mais a raiz quadrada de x. Portanto o que eu estou fazendo aqui
é pegar essa expressão e multiplicar por 1. Se eu dividir, esses dois são iguais
e isso aqui dá 1. Multiplicando por 1 a gente está reescrevendo a nossa expressão sem alterar o resultado. Então isso aqui eu posso escrever que vai dar igual... Vamos multiplicar aqui,
aqui não tem nada em baixo como se fosse 1, então no denominador dessa nossa fração a gente vai ter raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz de x. Isso é o que a gente vai ter na parte de baixo. Em cima nós vamos ficar com esse pedaço
(deixe-me escrever nessa cor), vamos ficar com raiz quadrada
de (100 mais x), que é esse primeiro pedaço aqui, menos raiz quadrada de x e isso nós estamos multiplicando
por esse pedaço aqui de cima, que é a raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz quadrada de x. Então aqui em cima da fração,
dessa expressão aqui, a gente vai ter esses dois caras multiplicando
aqui em baixo, e ficou esse denominador. Dê uma olhada nesta parte de cima. Se você olhar aqui, nesse pedaço aqui, agora, neste pedaço, o que a gente tem? Dê uma olhada: a gente tem esse cara aqui, que é o mesmo que está aparecendo aqui, e aqui a gente também tem
que este cara é o mesmo que está aparecendo aqui. Então o que a gente tem aqui
é esse cara menos esse vezes o mesmo carinha ali mais aquele, então a gente tem a soma de dois termos
vezes a diferença entre esses dois termos. A gente sabe, então,
que se temos a multiplicação da soma pela diferença, isso aqui vai dar a diferença dos quadrados
desses dois carinhas. Então, no final das contas, a gente vai ter como resultado
o quadrado desse primeiro, que é positivo nos dois, menos o quadrado desse aqui que aparece positivo aqui
e negativo ali. A gente pode escrever esse resultado assim: isso tudo vai ser igual (vamos colocar aqui o igual) então na parte de baixo nós vamos ter a mesma coisa, raiz quadrada de (100 mais x) mais raiz quadrada de x,
isso não vai mudar, agora em cima vai ficar o seguinte:
vai ficar o quadrado desse cara aqui em roxo, que é o quadrado de raiz quadrada de (100 mais x), que vai dar o próprio (100 mais x). Agora, menos... isso aqui vai ficar menos o quadrado
desse outro carinha aqui, então vai ficar o quadrado desse
menos o quadrado desse, então menos o quadrado de raiz quadrada de x. A raiz quadrada com o quadrado cancela e isso vai dar o próprio x. O interessante é que vai acontecer isso aqui: como a gente vai ter +x em cima com -x,
isso aqui vai embora. Portanto eu posso escrever esse resultado
como sendo o seguinte: isso aqui para a gente vai ser 100 dividido por raiz quadrada
de (100 mais x) mais raiz quadrada de x. Então a gente pode dizer que essa expressãozinha
que a gente tinha aqui, quando a gente a multiplica por 1,
que é dado por essa forma aqui, a gente produz essa expressão,
que é equivalente a essa, então dá no mesmo escrever assim ou escrever assim,
são formas equivalentes. Portanto, quando a gente for calcular o limite disso aqui, podemos calcular o limite disso
que vai dar no mesmo. Então a gente pode agora tentar calcular o limite de 100 sobre a raiz quadrada de (100 mais x) mais a raiz quadrada de x quando a gente tem o x tendendo a infinito. Portanto, agora ficou muito mais prático para a gente,
muito mais fácil, pois a gente tem a parte de cima do numerador fixa. Esse valor é 100, é fixo,
isso aqui não está mudando, pode fazer x tender a infinito o quanto for,
pode variar x o quanto você quiser, que aqui continua sendo 100. Entretanto, na parte de baixo, esse número x ficando grande,
ficando realmente grande, a gente já viu que isso vai explodir,
isso aqui não tem limite. Quanto mais você aumentar x,
maior vão ficando essas raízes, tanto nesse pedaço quanto neste pedaço e portanto você vai juntar os dois,
você vai somar esses dois e esse pedaço aqui de baixo
e essa parte do denominador vão explodir, vão ser ilimitados, vão tender a infinito. E como a gente tem um numerador finito e
a parte de baixo vai ficando cada vez maior, é provável que isso aqui fique cada vez menor, isso vai ficando cada vez mais próximo de zero. Então se a gente fizer x tender a infinito,
isso vai para zero. E assim confirmamos aquela nossa intuição inicial
do começo do vídeo.