Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência ímpar)

RKA4JL - Vamos fazer o esboço de uma função do tipo f(x) igual a x sobre raiz quadrada de (x² mais 1). x² mais 1 é sempre um número maior ou igual a 1. Vejamos, quando x subir muito de valor, um número positivo, essa raiz vai ser positiva; se ele for muito negativo, ao quadrado fica um número positivo, ou seja, o menor valor absoluto que x pode assumir é zero, o que vai dar raiz quadrada de 1. Portanto essa função está definida. Agora vamos definir os limites, o limite para quando x tender a mais infinito e o limite quando x tender a menos infinito. Quando x tender a mais infinito, ele ao quadrado somado com 1, este 1 não vai fazer muita diferença. Portanto a gente pode escrever essa função como sendo x sobre raiz quadrada de x². Por definição, raiz quadrada de x² é o módulo de x. Se x for negativo, ele ao quadrado vira um número positivo. Tirando a raiz quadrada, ele tem um valor absoluto de x. Portanto quem vai dar o sinal vai ser x que está no numerador. Se tender a mais infinito, esse cara é positivo, esse daqui também positivo, que é o módulo, portanto ele vai tender ao mesmo número e você vai poder simplificar e vai dar 1 quando x tender a mais infinito. Quando x tender a menos infinito, como o sinal do x aqui de cima é negativo, o módulo x vai ser positivo, ou seja, então ele vai tender a -1. Portanto já podemos desenhar duas assíntotas horizontais, onde o nosso x vai tender... Ele vai tender a mais 1 quando x tender a infinito e vai tender a -1 quando x tender a menos infinito. Então vamos traçar aqui as assíntotas. As duas assíntotas horizontais. Então já sabemos que o nosso x vai tender a -1 quando x tender a menos infinito e vai tender a mais 1 quando x tender a mais infinito. Vamos pegar um valor qualquer de x, vamos colocar f(0). No f(0) vamos ter zero sobre a raiz quadrada de 0² mais 1, o que vai dar zero, ou seja, então ele passa no ponto (0,0). Então a nossa função vai ter um esboço desta forma aqui. Se tiver uma calculadora que trace o gráfico, você pode verificar. Você coloca a expressão que vai estudar e manda a calculadora desenhar o gráfico. Realmente, pelo gráfico, nós estamos vendo que se x tende a menos infinito, ela vai tender a -1. Passa pelo ponto (0,0) e depois quando x tende a mais infinito, ela vai tender a mais 1. A chave dessa questão é você verificar o sinal da função quando ela tende a mais e a menos infinito. Nesse caso aqui, como embaixo nós temos módulo, aqui embaixo sempre vai ser positivo e aqui em cima, quando x tender a mais infinito, ela vai ser positiva, ou seja, vai tender a 1, na realidade, porque x vai ficar simplificado com x, então vai tender a 1 e quando x for tendendo a menos infinito, ela vai ficar negativa pois o numerador é negativo e o denominador sempre é positivo porque é o módulo de x. Portanto ela tende a -1 passando pelo ponto zero. Então esse é esboço do nosso gráfico da função f(x).