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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 20: Limites no infinito (assíntotas horizontais)- Introdução aos limites infinitos
- Limites no infinito de funções racionais (Parte 1)
- Limites no infinito de funções racionais (Parte 2)
- Limites no infinito de funções racionais
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência ímpar)
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas (potência par)
- Limites no infinito de funções racionais com raízes quadradas
- Limites no infinito de funções racionais com trigonometria
- Limites no infinito de funções racionais com trigonometria (limite indefinido)
- Limites no infinito de funções racionais com trigonometria
- Limite no infinito de uma diferença de funções
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Limites no infinito de funções racionais (Parte 2)
Neste vídeo, analisamos os limites no infinito de três funções racionais diferentes. Descobrimos que existem três casos gerais para como os limites se comportam. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - Vamos analisar
mais algumas situações de limite com o "x" tendendo a infinito
ou menos infinito. Tenho aqui um primeiro exemplo do limite
com “x” tendendo a infinito desta expressão maluca: 9x⁷ menos 17x⁶ mais 15 raiz quadrada de x,
sobre 3x⁷ mais 1.000x⁵ log₂ˣ. Já que estamos estudando limites
no infinito, a chave, como já vimos antes, é verificar que termos dominam
os demais no numerador e no denominador. Por exemplo, aqui no numerador 9x⁷, vai crescer
muito mais rápido do que os outros dois termos. Então, este é o
termo dominante. Da mesma forma, no denominador,
3x⁷ é o termo dominador, ele vai crescer muito mais rápido
que os outros dois, que são x⁵ e log₂ˣ. Então, quando o “x” tende a infinito,
quando o “x” tem valores muito grandes, esta função pode ser tranquilamente
aproximada para 9x⁷ sobre 3x⁷. Então, quando o “x” vai
se aproximando do infinito, entre aspas, essas duas expressões se aproximam
respectivamente de 9x⁷ e 3x⁷. Então, este limite
vai ser igual a este limite aqui, já que podemos simplificar
esta expressão, este limite vai ser igual ao limite
quando “x” tende a infinito de, simplesmente... x⁷ podemos cancelar e 9/3
sabemos que é exatamente 3, e o limite, quando “x”
tende a infinito de 3, é exatamente 3. E esse é o limite com o “x” tendendo ao
infinito de toda essa expressão maluca. Vamos fazer a mesma coisa
com esta outra função. Temos aqui
expressões malucas. O “x” tendendo a menos infinito,
mas o mesmo princípio se aplica. Em cada expressão, vamos verificar
qual dos termos domina, em termos de valor absoluto,
em relação aos demais, pensando em valores absolutos,
ou seja, quanto maior a magnitude de “x”, qual dos termos domina
em cada uma das expressões. No numerador, domina o 3x³
e, no denominador, os 6x⁴. Então, quando o “x” for um número
tendendo a menos infinito, isso tudo será a
mesma coisa que o limite, com “x” tendendo a menos infinito,
de 3x³ sobre 6x⁴. Simplificando essa expressão, estamos falando do
limite com “x” tendendo a menos infinito de 1 sobre 2x. E o que isso vai nos dar? Se o “x” fosse um número muito,
muito, muito grande, tendendo a infinito, o denominador desta expressão
também vai para infinito e teremos 1 sobre infinito,
o que tende a zero, ou seja, 1 dividido por um número muito grande
resulta num valor tão pequeno que tende a zero. Por outro lado, se o “x”
for tendendo a menos infinito, este mesmo raciocínio se aplica
já que, mesmo sendo negativo, se o módulo de “x” é muito grande, teremos 1 dividido
por um número muito negativo, entre aspas, e o resultado é um valor próximo
de zero, ou seja, tende a zero. Neste caso, temos uma assíntota
horizontal em “y” igual a zero. Sugiro que você construa
um gráfico para esta função e tente observar isso sozinho.
A ideia principal aqui é simplificar o problema observando
que termos vão dominar o resto tanto no numerador quanto
no denominador. Vamos para esta terceira. Qual é o limite da função definida por
esta expressão quando “x” tende a infinito? Vamos analisar novamente
no numerador e no denominador quais são os
termos dominantes. O numerador é uma expressão polinomial
e o termo de maior grau é o 4x⁴, do mesmo jeito, no denominador,
o 250x³ domina. Então, isso fica equivalente a calcular o limite
quando o “x” tende a infinito de 4x⁴ sobre 250x³. Simplificando, x⁴ pelo x³,
dá somente “x”, temos o limite de 4 sobre 250x,
com “x” tendendo a infinito. Podemos também pensar como 4/250 vezes
o limite de “x” quando “x” tende ao infinito. Ora, o limite, quando o “x” tende a
infinito de “x”, é o “x” crescendo infinitamente, então, é infinito vezes
um outro número. Isso vai ser igual a infinito,
entre aspas, ou seja, tende a infinito. Observe que este resultado
era esperado ao examinarmos que o numerador é
um polinômio de quarto grau enquanto o denominador é
um polinômio de terceiro grau. Isso nos permite concluir
que o numerador vai crescer de uma maneira muito mais rápida
que o denominador quando o “x” tende a infinito. Logo, “x” tendendo a infinito faz com que essa
expressão toda também tenda ao infinito. Por outro lado, nesta segunda
expressão acontece o contrário. O numerador vai crescendo
mais devagar que o denominador. Portanto, o denominador crescendo
muito mais rápido faz com que tenhamos um número menor dividido por um número
muito maior e, portanto, tendendo a zero no resultado. É isso aí,
até o próximo vídeo!