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Introdução aos limites (antigo)

Um vídeo antigo em que introduzimos a noção de limite. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1JV Bem-vindo a este vídeo cujo objetivo é introduzir você à ideia dos limites de uma maneira bastante simples. Vamos começar olhando aqui para o limite de "x²" quando "x" tende a 2, o que significa isso? Como vamos lidar com isso? Primeiro, vamos considerar f(x) = x², uma função real, de números reais, que define justamente aquela expressão para a qual nós queremos estudar o limite. Vamos iniciar o estudo. O gráfico dessa função para poder interpretar o limite. Aqui temos os eixos, e já sabemos que o gráfico esperado é uma parábola, já que f(x) = x², se "x" é 1, 1² dá 1, valor do f(1) é 1. Se o "x", por outro lado, for 2, 2² dá 4. Então o valor de f(2) é 4, e assim por diante para os infinitos pontos que definem este gráfico. A pergunta é o que acontece com a função quando os valores de "x" vão se aproximando do número 2, quando "x" for 1,9, 1,999, assim por diante, chegando bem próximo de 2, ou quando "x" for 2,1, 2,001, etc, também se aproximando, a partir de valores maiores que 2, mas aproximando também do 2. Pelo gráfico, você pode perceber que quando vamos nos aproximando de 2, valores de "x" se aproximado de 2 pela esquerda, no gráfico, nós vemos que o f(x) vai se aproximando de 4. Cada "x" tem um correspondente valor de "f". No gráfico, nós vemos essa tendência que o "f" vai para 4, se vamos olhando para valores de "x" maiores do que 2, porém que também se aproximam de 2, para cada "x", o "f" correspondente chegando próximo do 2. Para o "x", o gráfico indica que o "f" vai chegando próximo, cada vez mais próximo de 4. Se quando "x" se aproxima de 2, seja pela esquerda ou pela direita, o "f" se aproxima cada vez mais de 4, nós dizemos que o limite de x² quando "x" tende a 2, é igual a 4. Observe que nesse caso quando "x" é 2, o f(x) pela definição da função é 4. Neste caso, o limite de "x²", quando "x" tende a 2, é 4. Coincide com o valor da função, ou seja, o limite dessa função f(x), quando "x" tende a 2, é igual à função no ponto em que "x" é igual a 2, isso não acontece sempre. Neste exemplo, aconteceu. Vamos a outro exemplo. Vamos considerar a função real definida por f(x) = x² se o "x" for qualquer número diferente de 2. E f(x) = 3, se o "x" for igual ao número 2. Vamos estudar o limite do f(x) quando "x" tende a 2. Este f(x) não é o mesmo do anterior, fique atento a isso, é um outro exemplo. Para começar os trabalhos, vamos analisar graficamente esta função, estou colocando aqui os eixos. Veja, f(x) = x², exceto quando "x" vale 2. Vamos já traçar a parábola que esperamos para f(x) = x², depois onde "x" é igual a 2, temos que fazer uma correção, porque ali a função vai valer 3. Veja só. Aí está parábola, agora quando "x" vale 2, se não houver essa restrição f(x) seria 4 porque 2² é 4, mas na definição o "x" vale 3. Então, eu devo indicar que, na parábola, aquele ponto em que o "x" vale 2 e o "f" vale 4 não faz parte do gráfico, mas sim que quando "x" vale 2, o "f" vale 3. Vamos ver então qual é o limite do f(x) quando "x" se aproxima de 2, quando "x" tende a 2. Vamos olhar no gráfico parecido com o anterior. Vamos pensar o que acontece quando os valores de "x" vão ficando cada vez mais próximos de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores do que 2, mas chegando próximo de 2, 1,9, 1,99 e assim por diante. Seguindo no gráfico, nós vemos que a cada "x" tem o correspondente do f(x) até que o "x" esteja próximo de 2, mas não seja 2. Nós percebemos que, quanto temos valores vindos da esquerda, valores menores do que 2, percorrendo o gráfico, nós vamos chegar a valores de "f" cada vez mais próximo de 4. Cada vez mais próximo daquele ponto onde existe um buraco. Mas nós não vamos assumir "x" igual a 4, "x" está sendo, perdão, "x" igual a 2, "x" está sendo próximo de 2, portanto "f" próximo de 4. A mesma coisa acontece quando nos aproximamos ou quando aproximando os valores de "x" de 2 pela direita. Os valores do "f" vão chegando cada vez mais próximos do 4, conforme "x" vai chegando mais próximo de 2. Podemos concluir agora então que esse limite do f(x) quando "x" tende a 2 é igual a 4 porque o "x" se aproximando cada vez mais de 2, pela direita e pela esquerda, o "f" se aproxima cada vez mais de 4. Mas observe que aqui o limite do f(x) quando "x" tende a 2 não é a mesma coisa que o f(2). Isso tinha acontecido no outro exemplo em que o limite do f(x) quando "x" tende a 2 era 4 que coincidiu com f(2) porque não havia nenhuma restrição, nenhuma modificação na definição da função. Aqui isso não acontece, o f(2) é 3, porém o limite da f(x) quando "x" se aproxima de 2, é 4. A ideia de limite é diferente da ideia de olhar para o valor da função dado um certo valor de "x", pode acontecer que as duas coisas coincidam como no exemplo anterior. Pode acontecer que elas não coincidam como neste exemplo. Aqui o limite do f(x) quando "x" tende a 2 deu 4, porque aproximando o "x" de 2, o "f" se aproxima de 4, mas em 2, o "f" não é 4. Poderíamos ter também outras situações em que, no ponto ou para o valor de "x" para qual estamos observando o limite, a função nem definida esteja. Ou pode ser que tenhamos buracos ou saltos como em outros casos que nós vamos ver. Nos próximos vídeos, teremos exemplos, manipularemos um pouco mais isso. Espero que você tenha tido uma boa ideia intuitiva de como obter o significado do limite de uma função. Até lá!