Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Exemplo resolvido: ponto onde uma função é contínua

Neste vídeo, determinamos o limite de uma função definida por partes no ponto entre dois casos diferentes da função. Neste caso, os dois limites laterais são iguais, então o limite existe.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA2G - Nós estamos aqui uma função g(x) que é igual a log (3x) para todos os valores que estão entre zero e 3 e (4 - x) vezes log (9) para todo "x" que é maior ou igual a 3. E o que nós queremos fazer aqui é calcular o limite quando "x" tende a 3 para esta função. Ok, o que nós precisamos fazer aqui é encontrar o limite para esta função. Mas o limite desta função só vai existir quando os limites laterais para esta função forem iguais. Neste caso, o que você precisa fazer é calcular o limite para esta função do lado esquerdo, quando "x" tende a 3 pela esquerda, e também calcular o limite quando "x" tende a 3 pela direita. Se os dois limites tiverem o mesmo valor, isso significa que esse vai ser o valor do limite para essa função g(x). Vamos lá, a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é calcular o limite quando "x" tende a 3 pela esquerda. Isso de g(x). Então, vamos calcular o limite com "x" tendendo a 3 pela esquerda para este g(x). Neste caso aqui, g(x), quando "x" tende a 3 pela esquerda, vai ser qual das duas expressões aqui? Se a gente considera que tenha um valor "x" que vai de zero até 3, quando "x" está tendendo a 3 pela esquerda, vale esta expressão aqui. Então, a gente vai calcular o limite para esta função em que esta função vai ser igual a log (3x). Vai ser o limite com o "x" tendendo a 3 do log (3x). Para calcular esse limite, nós precisamos ter a ideia de continuidade, saber se esta função é contínua neste intervalo. A gente sabe que uma função log é contínua para todos os valores maiores que zero. Como aqui nós estamos dizendo que o domínio de "x" está entre zero e 3, significa que este "x" vai ser um valor maior que zero. Então, esta função é definida e contínua neste intervalo. Nós podemos calcular este limite. E para calcular este limite, basta substituir este "x" por 3. Assim, a gente vai ter que o limite de "x" tendendo a 3 pela esquerda vai ser igual ao log (3 vezes 3). E 3 vezes 3 = 9. Então, a gente vai ter log (9). Lembrando que, todas as vezes que a gente coloca apenas o log, está implícito que a base é 10. Temos aqui o log na base 10. Tudo isto é o log₁₀. Vai ser o log₁₀ (9). E este é o limite com "x" tendendo a 3 pela esquerda neste função g(x). A gente pode fazer a mesma coisa agora, calculando o limite com "x" tendendo a 3, só que, agora, pela direita. Isso, claro, para a função g(x). Então, isto vai ser igual ao limite com "x" tendendo a 3 pela direita da função g(x). Neste caso, qual a expressão que a gente vai usar quando "x" se aproxima de 3 pela direita? A gente sabe que a expressão para esta função é igual a (4 - x) vezes log (9) para todos os valores que são maiores ou iguais a 3. Então, se a gente está se aproximando do 3 pela direita, Vamos usar esta outra expressão. Vai ser o limite com "x" tendendo a 3 de (4 - x) vezes log (9). Novamente, a gente vai olhar a ideia de continuidade neste intervalo. Se você reparar, log (9) é uma constante, certo? Se é uma constante, a gente pode até jogar este log (9) para fora do limite e calcular apenas o limite de (4 - x). E (4 - x) é definido em todo o conjunto dos números reais, e é contínuo em todo esse conjunto. Mas como a gente quer valores que são maiores ou iguais a 3, a gente pode dizer com toda certeza que esta função vai ser contínua neste intervalo. Assim, para calcular este limite, basta substituir este "x" por 3. Vamos ter algo igual a 4 - 3, vezes log₁₀ (9). 4 - 3 = 1, 1 vezes log (9) é o próprio log (9). Então, vai ser log₁₀ (9). Como aqui nós temos os dois limites laterais sendo iguais e igual a log (9), a gente pode dizer que o limite com "x" tendendo a 3 de g(x) vai ser igual a log₁₀ (9). Esta é a resposta do limite de g(x), com "x" tendendo a 3. Observe que, todas as vezes que você quiser calcular o limite de uma função que tenha esta forma, você vai precisar calcular os limites laterais. Caso esses limites laterais sejam iguais, esse vai ser o limite dessa função.