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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 16: Limites de funções definidas por partesExemplo resolvido: ponto onde uma função não é contínua
Neste vídeo, encontramos o limite de uma função definida por partes no ponto entre dois casos diferentes da função. Neste caso, os dois limites laterais não são iguais, então o limite não existe.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver um
exemplo de descontinuidade. Para isso, nós temos uma função f(x) aqui, que é definida em duas partes, sendo que a primeira parte
é definida por ln(x), se o "x" estiver entre zero e 2, e a segunda parte é definida
por x² vezes ln(x), se o "x" for maior do que 2. Este é o ln(x) aqui é
o logaritmo natural de "x". O que nós queremos é saber
qual é o limite da função f(x) quando "x" tende a 2, ou seja,
quando se aproxima de 2. O interessante deste 2 aqui é que
ele é a fronteira destes 2 intervalos. Se quisermos analisar ele, nós caímos neste intervalo aqui, já que o "x" é menor ou igual a 2. Portanto, o f(2) vai ser igual a ln(2). Portanto, para calcular o f(2), nós temos que substituir o 2 no lugar deste "x", f(2) vai ser igual a ln(2). Mas este, necessariamente, não é o limite. Para descobrir o limite, nós precisamos saber o que está acontecendo quando estamos nos aproximando do ponto pela esquerda e o que está acontecendo quando estamos nos aproximando pela direita. Se esse esse limite existe, então, os limites laterais devem ser iguais. Eles devem tender para uma mesma coisa. Ok, vamos calcular esses limites laterais? O primeiro que eu vou calcular aqui é o limite de f(x) quando "x"
tende a 2 pela esquerda, ou seja, quando se aproxima
do 2 pela esquerda, e esse vai ser o caso quando
estamos neste intervalo aqui, ou seja, nós estamos esperando
valores inferiores a 2 da esquerda. Por causa disso, nós vamos utilizar isto aqui, que está bem definido neste intervalo. Portanto, o limite de f(x) quando "x'' tende a 2 pela esquerda vai ser igual a ln(2). Com isso resolvido, vamos pensar no que acontece do lado direito, ou seja, para valores maiores que 2. Então, queremos saber qual é o limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela direita. Isso significa pegar valores
maiores do que 2, e, portanto, utilizamos esta fórmula aqui, sabendo que a função é contínua para valores maiores do que 2. Portanto, utilizando a mesma ideia daqui e substituindo o 2 no lugar do "x", nós vamos ter 2² vezes ln(2). Isso vai igual a 2², que é igual a 4,
vezes ln(2). Portanto, o limite de f(x) tendendo a 2
pela direita existe e o limite de f(x) com "x" tendendo a 2 pela esquerda existe. Mas observe que eles são valores diferentes. Por causa disso, se você
fizer um gráfico de f(x), você vai ver que há um salto
de um ponto para o outro, ou seja, você teria uma
descontinuidade em "x = 2". E por causa dessa descontinuidade, o limite de f(x) quando "x"
tende a 2 não existe. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!