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Como encontrar limites por fatoração (cúbica)

Neste vídeo, calculamos o limite de (x³-1)/(x²-1) em x=1 por fatoração e simplificação da expressão. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vamos tentar achar o limite com x tendendo a 1 da expressão (x³ menos 1) sobre (x² menos 1). Primeiro você tenta substituir x por 1 e vai chegar a zero sobre zero. 1 menos 1 no numerador dá zero, 1 menos 1 no denominador também resulta em zero. Então isso não nos ajuda. Vamos ver se podemos tentar simplificar isso de alguma forma. Reescrevendo a expressão, (x³ menos 1) sobre (x² menos 1) o denominador chama a atenção imediatamente com a diferença de dois quadrados. O denominador é facilmente fatorável por (x menos 1) vezes (x mais 1). Então se o numerador tiver nele um fator x menos 1, eles vão se cancelar aqui nesta fração algébrica e ao igualar x a 1, não vamos ter problemas com o denominador zero. A razão de eu estar tomando cuidado com x menos 1 é porque, justamente, ele faz o denominador ser zero caso x seja 1. Se o x for 1, nós temos aqui (1 menos 1) vezes (1 mais 1), que é 2, o primeiro parênteses é que vai dar zero e é ele que causa problemas ao lidarmos com esta expressão. Então se tivermos o fator (x menos 1) no numerador, nós vamos poder cancelá-lo para x diferente de 1, evidentemente, e não vamos ter mais esse problema de dividisão por zero. Assim vai ficar muito mais fácil de obter o limite procurado. Vamos procurar ver se x³ menos 1 é o produto de x menos 1 por alguma outra expressão. Para fazer isso, podemos usar a divisão de polinômios. Alguns de vocês podem já ter reconhecido um padrão aqui no x³ menos 1, mas vamos fazer mais vagarosamente para chegar a um resultado dividindo (x³ menos 1) por (x menos 1). x³ menos 1 é x³ mais 0x² mais 0x menos 1 (estou completando todos os espacinhos do polinômio entre aspas) dividido por (x menos 1). Começamos pelo termo de maior grau do dividendo, então procuramos alguém que vezes x resulte em x³. Esse alguém é x². Efetuamos o x² vezes (x menos 1) e subtraímos do dividendo. x² vezes x dá x³, subtraindo fica -x³ e x² vezes -1 dá -x², só que ao subtrair (menos -x²) fica mais x². Efetuando, x³ menos x³, zero, 0x² mais x² dá x² mais 0x aqui menos 1. Começando novamente a divisão, queremos alguém que vezes x resulte em x². É simplesmente x. +x vezes x dá x² ao subtrair -x² e mais x vezes -1 dá -x. Na hora de subtrair menos -x, teremos mais x. Efetuando a subtração, cancelamos o x² e vamos ter, então, x menos 1. Finalizando a divisão, está muito fácil de ver que (x menos 1) dividido por (x menos 1) dá simplesmente mais 1 e o resto vai ser zero. Então este numerador x³ menos 1 pode ser fatorado como (x menos 1) vezes (x² mais x mais 1). Agora podemos observar que x menos 1 e x menos 1 cancelam aqui, claro, considerando x diferente de 1, ou seja, esta a expressão simplificada fica (x² mais x mais 1) sobre (x mais 1) para x diferente de 1. Isso faz sentido na nossa situação porque não estamos calculando o valor dessa expressão quando x é igual a 1, mas para quando x se aproxima de 1. O limite, então, pode ser reescrito como o limite com x tendendo a 1 de (x² mais x mais 1) sobre (x mais 1). Agora isto é muito mais fácil de achar. Você pode neste momento se perguntar o que acontece aqui se x for 1. Teremos (1² mais 1 mais 1) sobre (1 mais 1), ou seja, 3 sobre 2. Então o limite que procuramos é 3 sobre 2. Até o próximo vídeo!