Conteúdo principal
Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 13: Limites a partir de equações (fatoração e racionalização)Como encontrar limites por fatoração (cúbica)
Neste vídeo, calculamos o limite de (x³-1)/(x²-1) em x=1 por fatoração e simplificação da expressão. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
O que acontece quando o resto é diferente de zero? Obrigado(1 voto)
Se o resto é diferente de zero, quer dizer que você não pode fatorar com esse (x+1), por exemplo. Logo, deve encontrar outro polinômio que dê resto zero. Uma dica para isso é encontrar as raízes dessa função.
Por exemplo, x^3-1=f(x)
Se f(x)=0, temos uma raiz
x³-1=0
x³=1
x=1
Assim, descobrimos que 1 é uma raiz. Assim, se dividirmos x³-1 por (x-£), sendo £ uma raiz, encontraremos resto zero e o quociente será o outro termo da fatoração que procuramos. Pelo método de Ruffini fica mais fácil de fazer essa divisão.
x³-1/(x-£)=Q(x)
x³-1=Q(x).(x-£)
Q(x) é o quociente da divisão(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos tentar achar o limite com x tendendo a 1 da expressão (x³ menos 1) sobre (x² menos 1). Primeiro você tenta substituir x por 1
e vai chegar a zero sobre zero. 1 menos 1 no numerador dá zero, 1 menos 1 no denominador também resulta em zero. Então isso não nos ajuda. Vamos ver se podemos tentar
simplificar isso de alguma forma. Reescrevendo a expressão,
(x³ menos 1) sobre (x² menos 1) o denominador chama a atenção imediatamente
com a diferença de dois quadrados. O denominador é facilmente fatorável
por (x menos 1) vezes (x mais 1). Então se o numerador tiver nele um fator x menos 1, eles vão se cancelar aqui nesta fração algébrica e ao igualar x a 1,
não vamos ter problemas com o denominador zero. A razão de eu estar tomando cuidado com x menos 1 é porque, justamente, ele faz o denominador ser zero
caso x seja 1. Se o x for 1, nós temos aqui
(1 menos 1) vezes (1 mais 1), que é 2, o primeiro parênteses é que vai dar zero e é ele que causa problemas
ao lidarmos com esta expressão. Então se tivermos o fator (x menos 1)
no numerador, nós vamos poder cancelá-lo
para x diferente de 1, evidentemente, e não vamos ter mais esse problema de dividisão por zero. Assim vai ficar muito mais fácil
de obter o limite procurado. Vamos procurar ver se x³ menos 1
é o produto de x menos 1 por alguma outra expressão. Para fazer isso, podemos usar a divisão de polinômios. Alguns de vocês podem já ter reconhecido um padrão
aqui no x³ menos 1, mas vamos fazer mais vagarosamente
para chegar a um resultado dividindo (x³ menos 1)
por (x menos 1). x³ menos 1
é x³ mais 0x² mais 0x menos 1 (estou completando todos os espacinhos
do polinômio entre aspas) dividido por (x menos 1). Começamos pelo termo de maior grau do dividendo, então procuramos alguém
que vezes x resulte em x³. Esse alguém é x². Efetuamos o x² vezes (x menos 1)
e subtraímos do dividendo. x² vezes x dá x³, subtraindo fica -x³ e x² vezes -1 dá -x², só que ao subtrair (menos -x²)
fica mais x². Efetuando, x³ menos x³, zero, 0x² mais x² dá x² mais 0x aqui menos 1. Começando novamente a divisão, queremos alguém que vezes x
resulte em x². É simplesmente x. +x vezes x dá x²
ao subtrair -x² e mais x vezes -1 dá -x. Na hora de subtrair menos -x,
teremos mais x. Efetuando a subtração, cancelamos o x² e vamos ter, então, x menos 1. Finalizando a divisão, está muito fácil de ver
que (x menos 1) dividido por (x menos 1) dá simplesmente mais 1 e o resto vai ser zero. Então este numerador x³ menos 1
pode ser fatorado como (x menos 1) vezes (x² mais x mais 1). Agora podemos observar que x menos 1
e x menos 1 cancelam aqui, claro, considerando x diferente de 1, ou seja, esta a expressão simplificada fica
(x² mais x mais 1) sobre (x mais 1) para x diferente de 1. Isso faz sentido na nossa situação porque não estamos calculando o valor dessa expressão
quando x é igual a 1, mas para quando x se aproxima de 1. O limite, então, pode ser reescrito
como o limite com x tendendo a 1 de (x² mais x mais 1) sobre (x mais 1). Agora isto é muito mais fácil de achar. Você pode neste momento se perguntar
o que acontece aqui se x for 1. Teremos (1² mais 1 mais 1)
sobre (1 mais 1), ou seja, 3 sobre 2. Então o limite que procuramos é 3 sobre 2. Até o próximo vídeo!