Conexão entre limites e comportamento do gráfico (mais exemplos)

RKA1JV - Temos uma função f(x) desenhada aqui. E temos também algumas considerações acerca do limite de f(x) quando "x" se aproxima de determinados valores. O que eu quero é avaliar quais dessas considerações são verdadeiras e quais são falsas. Vamos olhar para essa primeira expressão, limite f(x) quando "x" se aproxima de 1 vindo do lado positivo é igual a zero. Será que é verdadeiro ou falso? Vamos olhar melhor isso aqui. Estamos dizendo que quando "x" se aproxima de 1 do lado positivo, ou seja, valores maiores do que 1. Quando "x" se aproxima de 1 vindo do lado positivo, qual é f(x)? Vamos dizer que "x" é igual a 1,5, vamos marcar o valor bem aqui e ele vai se aproximando mais e mais de 1. Até que f(x) fica exatamente 1. Parece que o limite de f(x), quando "x" se aproxima do 1 pelo lado positivo, não é zero. Parece que é 1, então essa afirmação aqui não é verdadeira. Isso só seria verdade se, em vez de dizer do lado positivo, disséssemos do lado negativo, porque, do lado negativo, o valor da função parece efetivamente aproximar-se de zero. Vou fazer a correspondência aqui entre o "x" e o f(x) para você notar como que o f(x) realmente vai se aproximando de zero. Isso só seria verdade, se nós nos aproximássemos pelo lado negativo. Próxima questão. Limite de f(x) quando "x" se aproxima de zero pelo lado negativo é igual ao limite de f(x) quando "x" se aproxima de zero pelo lado positivo. Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de zero pelo lado negativo. Quando a gente se aproxima de zero pelo lado negativo, então nós temos, por exemplo, um "x" aqui e seu respectivo f(x). Vamos marcando dessa forma. Temos outro "x" e outro f(x), outro "x" e outro f(x), está vendo que ele se aproxima de 1 pelo lado negativo? Vamos ver se isso acontece do lado positivo também. Vamos ver o "x" e o respectivo f(x). Temos um "x" aqui e f(x), temos outro "x" e o f(x), e assim por diante. Pelo lado positivo, nós também nos aproximamos de 1, então, parece que é verdade, porque ambos os lados se aproximam de um limite de 1. Se o limite é 1, logo isso é verdade e a nossa próxima afirmação é a seguinte: limite de f(x) quando "x" se aproxima de zero pelo lado negativo é igual a 1. De certa forma, acabamos de ver isso aqui na afirmação anterior. Nós vimos que o "x" e o f(x) correspondem a esses pontos aqui que marcamos. Ele se aproxima de 1, então isso aí é verdade também. O limite de f(x) quando "x" se aproxima de zero, existe. De fato existe, porque já calculamos e sabemos que é igual a 1. Então isso está correto. Agora, o limite de f(x) quando "x" se aproxima de 1 existe. será que isso é verdade? Já tínhamos visto que, à medida que nos aproximamos pelo lado positivo, o limite parece se aproximar de 1. Percebemos que quando "x" é 1,5, temos f(x) igual a 1. E quando "x" é um pouco superior a 1, é 1. Então, parece que estamos ficando mais e mais próximos de 1. Vamos ver aqui que o limite de "x" quando "x" se aproxima de 1 pelo lado positivo, é igual a 1. Quando nos aproximamos pelo lado negativo, qual é esse valor? Analisando o gráfico aqui, parece que o nosso f(x) fica cada vez mais perto de zero. Quando nos aproximamos de 1 vindo de valores inferiores a 1. Isso aqui é igual a zero. Assim sendo, se o limite do lado direito é um valor diferente do limite do lado esquerdo, então o limite não existe. Isso aqui não é verdade. Agora, para terminar, o limite de f(x) quando "x" se aproxima de 1,5 é igual a 1. Precisamente aqui, tudo que tivemos a tratar até aqui, olhamos sempre para o ponto de descontinuidade ou pontos onde a função não está exatamente definida. Mas aqui vamos ver. Quando "x" é igual a 1,5, talvez aqui podemos dizer que f(x), sendo "x" igual a 1,5 é igual a 1. Então esse aqui é o ponto (1,5, 1). Se nos aproximarmos pelo lado esquerdo, vindo de valores inferiores ao ponto 1, o limite parece ser 1. E se nos aproximarmos ao ponto pelo lado direito, o limite parece ser 1 também. Parece ser uma coisa bastante óbvia. O gráfico é contínuo no ponto. Assim, se substituirmos ou olharmos para o gráfico, o limite é o valor da função nesse ponto. Não precisamos ter uma função indefinida para encontrarmos o limite. Assim, efetivamente, o caso que o limite f(x), quando "x" se aproxima de 1,5 é igual a 1.