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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 4: Limites laterais- Limites laterais a partir de gráficos
- Limites laterais a partir de gráficos: assíntota
- Limites laterais a partir de gráficos
- Limites laterais a partir de tabelas
- Limites laterais versus limites bilaterais (graficamente)
- Limites de funções definidas por partes: valor absoluto
- Conexão entre limites e comportamento do gráfico (mais exemplos)
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Conexão entre limites e comportamento do gráfico (mais exemplos)
Neste vídeo, analisamos graficamente vários limites laterais e bilaterais de uma dada função. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Temos uma função f(x)
desenhada aqui. E temos também algumas considerações
acerca do limite de f(x) quando "x" se aproxima
de determinados valores. O que eu quero é avaliar
quais dessas considerações são verdadeiras e quais são falsas. Vamos olhar para essa
primeira expressão, limite f(x) quando "x" se aproxima de 1 vindo
do lado positivo é igual a zero. Será que é verdadeiro ou falso? Vamos olhar melhor isso aqui. Estamos dizendo que quando
"x" se aproxima de 1 do lado positivo, ou seja, valores maiores do que 1. Quando "x" se aproxima
de 1 vindo do lado positivo, qual é f(x)? Vamos dizer que "x" é igual a 1,5, vamos marcar o valor bem aqui
e ele vai se aproximando mais e mais de 1. Até que f(x) fica exatamente 1. Parece que o limite de f(x), quando "x" se aproxima do 1
pelo lado positivo, não é zero. Parece que é 1, então essa afirmação aqui
não é verdadeira. Isso só seria verdade se,
em vez de dizer do lado positivo, disséssemos do lado negativo, porque, do lado negativo, o valor da função parece
efetivamente aproximar-se de zero. Vou fazer a correspondência aqui
entre o "x" e o f(x) para você notar como que o f(x) realmente vai se aproximando de zero. Isso só seria verdade, se nós nos aproximássemos
pelo lado negativo. Próxima questão. Limite de f(x) quando "x" se aproxima
de zero pelo lado negativo é igual ao limite de f(x) quando "x"
se aproxima de zero pelo lado positivo. Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de zero
pelo lado negativo. Quando a gente se aproxima
de zero pelo lado negativo, então nós temos, por exemplo, um "x" aqui e seu respectivo f(x). Vamos marcando dessa forma. Temos outro "x" e outro f(x),
outro "x" e outro f(x), está vendo que ele se aproxima
de 1 pelo lado negativo? Vamos ver se isso acontece
do lado positivo também. Vamos ver o "x" e o respectivo f(x). Temos um "x" aqui e f(x),
temos outro "x" e o f(x), e assim por diante. Pelo lado positivo, nós também
nos aproximamos de 1, então, parece que é verdade,
porque ambos os lados se aproximam de um limite de 1. Se o limite é 1, logo isso é verdade e a nossa próxima afirmação é a seguinte: limite de f(x) quando
"x" se aproxima de zero pelo lado negativo é igual a 1. De certa forma, acabamos de ver
isso aqui na afirmação anterior. Nós vimos que o "x" e o f(x) correspondem a esses pontos
aqui que marcamos. Ele se aproxima de 1, então isso aí é verdade também. O limite de f(x) quando
"x" se aproxima de zero, existe. De fato existe, porque já calculamos
e sabemos que é igual a 1. Então isso está correto. Agora, o limite de f(x) quando
"x" se aproxima de 1 existe. será que isso é verdade? Já tínhamos visto que, à medida que
nos aproximamos pelo lado positivo, o limite parece se aproximar de 1. Percebemos que quando
"x" é 1,5, temos f(x) igual a 1. E quando "x" é um pouco superior a 1, é 1. Então, parece que estamos ficando
mais e mais próximos de 1. Vamos ver aqui que o limite de "x" quando "x" se aproxima de 1
pelo lado positivo, é igual a 1. Quando nos aproximamos pelo
lado negativo, qual é esse valor? Analisando o gráfico aqui, parece que o nosso f(x) fica cada vez
mais perto de zero. Quando nos aproximamos de 1
vindo de valores inferiores a 1. Isso aqui é igual a zero. Assim sendo, se o limite do lado direito é um valor diferente
do limite do lado esquerdo, então o limite não existe. Isso aqui não é verdade. Agora, para terminar, o limite de f(x) quando "x" se aproxima de 1,5 é igual a 1. Precisamente aqui, tudo que
tivemos a tratar até aqui, olhamos sempre para
o ponto de descontinuidade ou pontos onde a função
não está exatamente definida. Mas aqui vamos ver. Quando "x" é igual a 1,5, talvez aqui
podemos dizer que f(x), sendo "x" igual a 1,5 é igual a 1. Então esse aqui é o ponto (1,5, 1). Se nos aproximarmos pelo lado esquerdo, vindo de valores inferiores ao ponto 1, o limite parece ser 1. E se nos aproximarmos ao
ponto pelo lado direito, o limite parece ser 1 também. Parece ser uma coisa bastante óbvia. O gráfico é contínuo no ponto. Assim, se substituirmos
ou olharmos para o gráfico, o limite é o valor da função nesse ponto. Não precisamos ter uma função indefinida para encontrarmos o limite. Assim, efetivamente,
o caso que o limite f(x), quando "x" se aproxima de 1,5
é igual a 1.