Limites de funções definidas por partes: valor absoluto

RKA2G - Digamos que temos uma função real definida por f(x) igual a módulo de (x - 3) sobre (x - 3). E queremos saber qual é o limite de f(x) quando "x" se aproxima de 3. Com uma rápida observação aqui, vemos pela expressão que define a função que a função não está definida para x = 3. Se "x" fosse 3, teríamos zero sobre zero e, portanto, f(x) não estaria definida. Para estudar este limite, vamos tentar representar esta função de uma maneira um pouquinho diferente. Já que a função não está definida para x = 3 por causa do denominador, e olhando para o numerador, que temos módulo de (x - 3), fica claro que devemos olhar para a função em dois momentos: um deles em que o "x" é menor que 3 e um outro, quando "x" é maior que 3. Vamos começar olhando aqui para quando "x" é maior que 3. E como fica esta expressão simplificada quando "x" é maior que 3? Colocando valor de "x" maiores do que 3 aqui no numerador, teremos no módulo um valor positivo. E o módulo de um valor positivo é ele mesmo. Ou seja, teríamos f(x) = (x - 3) sobre (x - 3). Porque, se "x" é maior que 3, o numerador é um valor positivo. O módulo de um valor positivo é ele mesmo, então, eu posso simplesmente tirar as barrinhas do módulo e eu terei a mesma coisa. Portanto, f(x) = (x - 3) sobre (x - 3). E, evidentemente, podemos reescrever isto de uma maneira bem mais simples. Se "x" for maior que 3, f(x) = 1. (x - 3) dividido por ele mesmo dá 1, desde que "x" não seja 3, e é o que temos aqui. Da mesma forma, vamos analisar a função f(x) definida para quando "x" é menor do que 3. Quando "x" é menor do que 3, entre os módulos vamos ter um valor negativo. E o módulo de um valor negativo é simplesmente o oposto dele. Então, se temos (x - 3) na barrinha dos módulos, ao tirar a barrinha dos módulos, vamos ter o oposto de (x - 3), ou seja, -(x - 3). O oposto de um número dividido por ele mesmo resulta em -1. Ou seja, f(x) = -1 se "x" for menor do que 3. Você pode ficar um pouco mais seguro sobre isso examinando essa mesma situação trocando "x" por números e ver o que acontece. Experimente valores maiores do que 3 para "x" e você vai ver que f(x) dá 1. Experimente valores menores do que para "x" e você vai ver que o f(x) resulta em -1. Vamos visualizar graficamente o que temos, então, com esta função. Vou desenhar os eixos do sistema cartesiano ortogonal aqui. Eixo das abcissas "x", eixo das ordenadas y = f(x). E o cuidado que temos que ter é quando "x" vale 3. Aqui no eixo "x": 1, 2, 3 (que é o que temos que tomar cuidado), 4, 5 e poderíamos continuar. Aqui no eixo das ordenadas: 1, 2, aqui temos o -1. Nós já sabemos que a função não é definida para x = 3. Mas, se "x" é maior que 3, o f(x) é sempre igual a 1. Então, o seu gráfico vai se parecer com isto: uma semirreta paralela ao eixo "x", não incluindo x = 3, mas de "x" maior que 3 em diante. A mesma ideia para "x" menor que 3: o f(x) vai ser sempre igual a -1. Outra semirreta paralela ao eixo "x" e não temos aqui o ponto em que "x" vale 3. E a pergunta é justamente qual é o limite do f(x) quando "x" se aproxima a 3. Vamos começar examinando o limite de f(x) quando "x" se aproxima a 3 pela esquerda, ou seja, por valores de "x" menores do que 3. O limite de f(x) quando "x" se aproxima, quando "x" tende a 3 pela esquerda, ou seja, por valores menores do que 3. Este sinal de "menos" sobrescrito ao 3 indica que estamos nos aproximando de 3 pela esquerda, portanto, por valores menores do que 3. Se tomarmos o valor de "x", por exemplo, zero, o f(x) é -1. Se tomarmos 1 para "x', o f(1) é -1. Se tomarmos 2, o f(2) é -1. Se tomarmos 2,5, o f(2,5) é -1. E, se formos chegando bem perto do 3, por exemplo, se "x"' for 2,999999, o f(x) é -1. Então, o limite de f(x), quando "x" tende a 3 pela esquerda, é igual a -1. Vamos olhar um pouquinho agora para o limite de f(x) quando "x" tende a 3 pela direita, ou seja, aproximando-se de 3 por valores maiores do que 3. Veja aqui que, se x = 5, f(x) = 1. Quando "x" é 4, f(x) é 1, também. Quando "x" é igual a 3,0000001, f(x) é igual a 1. Então, o limite de f(x), quando "x" tende a 3 pela direita, ou seja, por valores maiores do que 3, esse limite vale 1. Agora, parece algo em que temos que tomar cuidado. O limite, quando nos aproximamos de "x" pela esquerda, é um valor e o limite, quando nos aproximamos de "x" pela direita, é outro valor. E, quando isso acontece, nós dizemos que o limite de f(x) quando "x" tende a 3 não existe. Ou seja, tivemos um limite aproximando-nos de 3 pela esquerda e outro valor para o limite aproximando-nos de 3 pela direita. Então, o limite de f(x), quando "x" tende a 3, não existe. Podemos dizer isto de outra forma, generalizando um pouco mais. O limite, quando "x" tende a um valor "c", de f(x), é igual a um valor "l" se, e somente se, o limite de f(x) quando "x" tende a "c" pela esquerda for igual ao limite de f(x) quando "x" tende a "c" pela direita. E isso, observamos, não aconteceu neste nosso exemplo. O limite quando "x" tende a 3 pela esquerda de f(x) deu -1 e, com "x" tendendo a 3 pela direita, resultou em 1 positivo. Isso nos leva a concluir que o limite de f(x), quando "x" tende a 3, não existe. Até o próximo vídeo!