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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 1
Lição 4: Limites laterais- Limites laterais a partir de gráficos
- Limites laterais a partir de gráficos: assíntota
- Limites laterais a partir de gráficos
- Limites laterais a partir de tabelas
- Limites laterais versus limites bilaterais (graficamente)
- Limites de funções definidas por partes: valor absoluto
- Conexão entre limites e comportamento do gráfico (mais exemplos)
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Limites laterais a partir de tabelas
Usando uma tabela de valores, encontramos o limite lateral de x²/(1-cosx) conforme x se aproxima de zero pela direita. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Considere a tabela com valores para f(x) que é definida por x² sobre (1 menos cos x) com valores positivos de x próximos de zero. Observe que há um valor faltando na tabela. Use a calculadora para obter f(x)
em x igual a 0,1 e coloque este resultado na tabela
aproximando-o para os milésimos. A partir da tabela, qual parece ser o resultado
do limite de x tendendo a zero pela direita de x² sobre (1 menos cos x)? Vamos primeiro examinar a tabela. Quando x vale 1, f(x), calculado com aquela expressão,
resulta em 2,175. Quando x se aproxima um pouquinho mais de zero,
com valores maiores do que zero, quando x é 0,5 a função assume valor 2,042. Quando chegamos ainda mais perto de zero,
quando x vale 0,2, então o valor de f(x) é 2,007. Parece que quando x vai se aproximando ainda mais de zero, f(x) vai se aproximando de 2, mas vamos verificar isso na calculadora. Queremos, então, com a calculadora calcular o valor de x² sobre (1 menos cos x)
quando x vale 0,1. A primeira coisa que precisamos fazer é verificar se a nossa calculadora está configurada
para o modo de radianos. A minha calculadora já está configurada desta maneira, então vamos aos cálculos, começando por 0,1² dividido por (1 menos cos 0,1). O resultado é 2,0016. Queremos arredondar para casa dos milésimos, então aqui vamos arredondar para 2,002
na terceira casa decimal. Entre as possíveis respostas, a melhor é 2. O limite com x tendendo a zero pela direita
do f(x) é 2. Não poderia ser 2,005 porque verificamos na tabela
que de 2,007 já baixamos para 2,002. Eu tenho aqui uma calculadora gráfica e é extremamente interessante que observemos
o que ela nos representa aqui. Vou escrever a expressão que define a função para que seja feito o gráfico
e possamos analisá-lo. y igual x² sobre (1 menos cos x). Primeiro vou verificar se a área do gráfico, o zoom para meu gráfico está razoável para o que queremos ver aqui. Estamos analisando este limite com x
se aproximando de zero pela direita, ou seja, para valores maiores do que x, então o valor mínimo de x aqui parece bom,
mas eu vou colocar -1. Assim, x mínimo sendo -1 teremos uma visão um pouquinho mais detalhada dessa parte do gráfico. Para o maior valor de x que quero observar
eu vou colocar 1,5. Observe que aqui na tabela o maior valor utilizado é 1 (vamos deixar um pouquinho mais de espaço
para poder ver o comportamento gráfico da função). Para o valor máximo de y, vamos colocar 3, nós já sabemos que estamos
esperando que a função tenda a 2 e vamos fazer o gráfico para ver o que aparece aqui. Então neste recorte que estamos fazendo do gráfico ele se parece com isto aqui
quando o valor de x se aproxima de zero, seja pela direita ou pela esquerda, o valor do f(x) se aproxima de 2
pelo que podemos verificar de fato aqui no gráfico. Neste problema que temos aqui
estamos olhando apenas para o valor de x que se aproximam de zero pela direita, ou seja, a partir de valores maiores do que o valor de x. E este, neste exemplo,
é o limite lateral com o qual nós estávamos preocupados. Então este limite é 2. Até o próximo vídeo!