Limites laterais a partir de gráficos

RKA1JV - E se perguntássemos para nós mesmos para qual valor esta função "f" representada aqui, se aproxima, quando "x" se aproxima de 2 pela esquerda. Ou seja, por valores menores do que 2. Ou seja, se fizéssemos "x" igual a 1, "x" igual 1,5, "x" igual a 1,9, "x" igual a 1,999, "x" igual a 1,999999, qual vai ser o valor do qual f(x) se aproxima? E podemos ver que o f(x) parece estar se aproximando de 5. Podemos representar, podemos denotar isto como limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela esquerda. Estamos aqui especificando o sentido pelo qual estamos nos aproximando de 2. Neste caso, estamos olhando para valores de "x" que se aproximam de 2 pela esquerda, ou seja, valores menos do que 2, até chegar bem próximo a 2. Estamos chegando cada vez mais perto de valores de "x" para 2. Mas a partir de valores menores do que 2, 1,99, 1,99999, e olhando para o valor do "f" aplicado a estes valores. E o "f" se aproxima de qual valor quando fazemos isso? Pelo o que vemos no gráfico, cada vez mais próximo de 5, então, o limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela esquerda é 5. Outra questão agora. Qual é o limite do f(x) quando "x" tende a 2 pela direita? Ou seja, quando aproximamos o valor de "x" ao 2, vindo de valores maiores do que 2. Estamos imaginando que o "x" vale 3, depois, o "x" vale 2,5, depois 2,001, cada vez mais próximo de 2. O que acontece com o "f" nesta situação em que vamos nos aproximando de 2 vindo de valores maiores que 2? No gráfico, vemos que quando "x" é 3, o f(x) é esse valor, se o "x" é 2,5, f(x) está aqui. Quando "x" é 2,01, f(x) está mais ou menos por aqui. Conforme nos aproximamos de "x" igual a 2, o valor de "f" vai se aproximando de 1. De fato, quando "x" vai se aproximando de 2, o valor do f(x) não vai ser 1, ele se aproxima de 1. Porque em "x" igual a 2 existe um salto, uma descontinuidade e o f(2), como você vê pelo ponto do gráfico, vale 9. Podemos observar que quando "x" tende a 2 pela direita, ou seja, quando "x" se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, o limite do f(x) é 1, ou seja, o f(x) se aproxima a 1. De maneira geral, quando estamos falando de limite de uma função, esse limite existe quando os limites laterais para o mesmo valor são o mesmo valor. Ou seja, quando o limite do f(x), quando "x" tende a 2 pela esquerda ou pela direita resulta no mesmo número. Nesta situação, não é o que acontece. Quando nos aproximamos de 2 pela esquerda, o limite é 5, quando nos aproximamos de 2 pela direita, o limite é 1. Como não temos o mesmo valor, então, o limite de f(x) quando "x" tende a 2 não existe. Temos aqui um limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela esquerda, diferente do limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela direita. Então aqui este limite do f(x) quando "x" tende a 2 não existe. Para que esse limite existisse, estes dois valores tinham que se iguais. Numa outra situação aqui, qual seria o limite do f(x) quando "x" tende a 4? Podemos olhar para os limites laterais que são os limites quando "x" tende a 4 pela esquerda ou pela direita. Ou, respectivamente, por valores menores que 4 ou por valores maiores que 4. Vamos ver isso com calma. O limite de "x" quando "x" tende a 4 pela esquerda, ou seja, vindo de valores menores do que 4. Quando "x" se aproxima de 4 aqui no gráfico, veja quando "x" é 3, o "f" está aqui, o "f'" é -2. O "f" de 3,5 parece estar por aqui. Quando o "x" é 3,9 o "f" está por aqui, f(3,999) veremos aqui e vamos vendo o valor de "f" tender a -5. O limite do f(x) quando "x" tende a 4 pela esquerda é igual a -5. Agora o que podemos dizer do limite de f(x) quando "x" tende a 4 pela direita? Ou seja, por valores maiores do que 4 para "x". Vamos pelo gráfico, f(5) está aqui, f(4,5), por exemplo, está aqui, f(4,1) estaria por aqui, f(4,01) aqui. Conforme nos aproximamos cada vez mais de 4 a partir de valores maiores do que ele, vemos o valor do f(x) se aproximar de -5. Mesmo que o f(x) não estivesse definido para "x" igual a 4. O limite de f(x) quando "x" tende a 4 pela direita seria -5. Agora, temos que o limite do f(x) quando "x" tende a 4 pela esquerda é igual ao limite do f(x) quando "x" tende a 4 pela direita. Isso quer dizer que o limite de f(x) quando "x" tende a 4 existe. E esse limite é igual a -5. Vamos ver o outro exemplo, agora. Vamos, nesta outra situação, estudar o limite de f(x) quando "x" tende a 8 pela esquerda. Ou seja, por valores menores do que 8, qual vai ser este resultado? Minha sugestão é que você pause o vídeo e tente encontrá-lo sozinho. Estamos pensando em uma situação na qual "x" se aproxima cada vez mais de 8 pela esquerda. Se "x" for 7, o f(7) estaria aqui, se "x" for 7,5, f(7,5) teríamos aqui. Continuando assim, não é difícil perceber que quando "x" se aproxima cada vez mais do 8, f(x) se aproxima cada vez mais do 3. Portanto, o limite de f(x) quando "x" tende a 8 pela esquerda vai ser igual a 3. Quando os valores de "x" se aproximam de 8, de valores menores do que 8, o f(x) se aproxima de 3. Agora o que acontece com o limite de f(x) quando "x" tende a 8 pela direita? Ou seja, quando "x" vai se aproximando de 8 a partir de valores maiores do que 8. Olhando no gráfico, quando "x" é 9, esse é f(9), quando "x" é 8,5, aqui temos o f(8,5) e vamos nos aproximando de 8 a partir de valores maiores do que ele. E vamos verificando que o o "f" vai se aproximando de 1. Ou seja, no limite quando "x" vai se aproximando de 8 pela direita, o f(x) se aproxima a 1. O limite de f(x) quando "x" tende a 8 pela direita é igual a 1. Observe que o limite de f(x) quando "x" tende a 8 pela esquerda é 3, e quando "x" tende a 8 pela direita é 1. Como os dois valores que temos aqui são diferentes, então o limite de f(x) quando "x" tende a 8 não existe, porque os limites laterais para 8 são diferentes. Vamos a mais um exemplo e aqui temos uma pergunta: a função "f" está representada graficamente abaixo. O que parece ser o valor do limite lateral, limite de f(x) quando "x" tende a -2 pela esquerda? No gráfico, logo de cara, observamos que quando "x" é -2, o "f" não está definido, f(-2) não é definido. Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos a -2, a partir de valores menores do que -2. Ou seja, pela esquerda. Vamos ver, f(-4) está bem aqui, f(-3) encontramos aqui, f(-2,5), podemos ir até ao gráfico e verificar que encontramos algo aqui. E podemos ver que, quando nos aproximamos de -2 pela esquerda, pelo menos visualmente, o valor de "f" tende a 4. Podemos dizer, pelo o que podemos observar no gráfico aqui, que o limite de f(x) quando "x" tende a -2 pela esquerda é igual a 4. Agora, poderíamos perguntar para nós mesmos qual seria o limite do f(x) quando (x) tende a -2 pela direita. Podemos usar o mesmo raciocínio. Quando "x" é zero, o f(0) estaria bem aqui, quando "x" é -1, f(-1) está aqui. Se o "x" for -1,9, o f(-1,9) estaria por aqui. Aqui continuando, verificamos que "x" tendendo a -2 pela direita nos dá um limite do f(x) para 4 também. E já que temos o limite do f(x) com "x" tendo a -2 pela esquerda ou pela direita sendo o mesmo valor, que, neste caso, é 4, podemos dizer que o limite de f(x) quando "x" tende a -2 existe e vale 4. É isso aí, continue estudando. Até o próximo vídeo!