Introdução ao teorema do confronto (antigo)

Nesse vídeo, eu provarei que o limite quando x tende a 0, de seno de x sobre x, é igual a 1. Mas antes de começar com a trigonometria, vou cobrir outro aspecto dos limites Estou falando do teorema do confronto. Pois quando você entender o que é esse teorema poderemos usá-lo para provar o que queremos A explicação é um pouco complexa, mas creio que você vai achá-la bem interessante e satisfatória ao entendê-la Se você não entender, talvez baste memorizar. Pois trata-se de um limite muito importante para saber quando derivarmos funções trigonométricas. Enfim, o que é o teorema do confronto? O teorema do confronto é o meu teorema favorito na matemática, possivelmente porque ele tem a ver com "espremer". "Teorema de espremer" E quando você ler num livro de cálculo ele parece complicado. Eu não sei onde você o encontra, se é num livro de cálculo ou de pré-cálculo. Ele parece todo complicado, mas o que ele diz é bastante óbvio. Deixe-me te dar um exemplo. Se eu te disser que eu sempre - o Sal sempre... come mais que a Umama. Umama é minha esposa. Se eu te disser que isso é verdade: o Sal sempre come mais que a Umama. E eu fosse te dizer também que o Sal sempre come menos que - sei lá eu vou inventar um personagem fictício - que o Bill. Então em um dia qualquer - digamos que seja em um dia qualquer. O Sal sempre come mais que a Umama em um determinado dia, e o Sal sempre come menos que o Bill em um determinado dia. Agora se eu te disser que na terça-feira a Umama comeu 300 calorias e que na terça-feira o Bill comeu 300 calorias. Então minha pergunta para você é: quantas calorias o Sal, ou eu comi na terça-feira? Bem, eu sempre como mais que a Umama - mais que ou igual à Umama - e eu sempre como menos ou igual ao Bill. Então na terça-feira, eu devo ter comido 300 calorias. Essa é a essência do teorema do confronto, e eu vou fazer um pouco mais formal. Mas o que ele diz é, se eu sempre sou maior que uma coisa e eu sempre sou menor que outra coisa e em algum ponto essas duas coisas são iguais, então eu também devo ser igual a o que quer que essas duas coisas sejam. Eu fui meio que espremido entre eles. Eu estou sempre entre a Umama e o Bill, e eles estão no mesmo ponto na terça-feira, então eu devo estar nesse ponto também. Ou eu devo pelo menos me aproximar disso. Então deixe-me reescrever em termos matemáticos. Então tudo que ele diz é que em um certo domínio, se eu disser que... digamos que g(x) é menor ou igual a f(x) que é menor ou igual a h(x) em um certo domínio. E nós também sabemos que o limite de g(x) quando x se aproxima de "a" é igual a um certo limite, L maiúsculo, e nós também sabemos que o limite quando x se aproxima de "a" de h(x) também é igual a "L", então o teorema do confronto nos diz que - e eu não vou provar agora mas é bom simplesmente entender o que é o teorema do confronto - O teorema do confronto nos diz que o limite quando x se aproxima de "a" de f(x) também deve ser igual a "L". E isso é a mesma coisa. Esse exemplo quando f(x), isso pode ser o quanto o Sal come num dia, poderia ser quanto a Umama come num dia, esse é o Bill. Então eu sempre como mais que a Umama e menos que o Bill. Então na terça-feira, você poderia dizer que "a" é uma terça-feira, se a Umama comeu 300 calorias e o Bill comeu 300 calorias, então eu também tive que comer 300 calorias. Eu vou pôr no gráfico para você. Eu vou pôr no gráfico e fazer numa cor diferente. Teorema do confronto. Teorema do confronto. OK, então vamos desenhar o ponto (a,L) O ponto a vírgula L. Digamos que esse seja o "a", esse é o ponto com o qual nos importamos: "a" e esse é o "L". E sabemos, g(x) é a função de baixo, certo? Digamos que essa coisa verde aqui esse é o g(x). Esse é o meu g(x). E sabemos que quando o g(x) tende a -- então o g(x) poderia se parecer com isso, certo? E sabemos que o limite, quando x se aproxima de "a", de g(x) é igual a "L". E está aqui. Então esse é o g(x). Eu vou fazer o h(x) de uma cor diferente. Então agora o h(x) poderia ser assim. Desse jeito. Esse é o h(x). E nós também sabemos que o limite, quando x se aproxima de "a" de h(x) -- vejamos, essa é a função do eixo x. Você pode chamar de h(x), g(x) ou f(x). Esse é o eixo dependente, e esse é o eixo x. Então de novo, o limite, quando x tende a "a" de h(x), bem nesse ponto aqui, "h" de "a" é igual a "L". Ou pelo menos o limite é igual a isso. Bem, assumindo... na verdade... E nenhuma dessas funções precisa de fato ser definida em "a", desde que esses limites, esse limite exista e esse limite exista. E isso também é algo importante para se ter em mente. O que isso nos diz? f(x) é sempre maior que essa função verde. Ele é sempre menor que h(x), certo? Então para qualquer f(x) que eu desenhar, ele teria que estar entre esses dois, certo? Então não importa como eu desenhe, se eu tivesse que desenhar uma função, ela vai estar limitada entre essas duas funções só pela definição. Então ela vai ter que passar naquele ponto. Ou pelo menos tem que se aproximar daquele ponto. Talvez não seja definida naquele ponto, mas o limite quando a gente se aproxima de "a", de f(x) também tem que estar no ponto "L". E talvez o f(x) não precise estar definido aqui, mas o limite, quando nos aproximamos disso, vai ser "L". E eu espero que faça sentido, e eu espero que meu exemplo das calorias tenha feito algum sentido para você. Então vamos manter isso na mente, o teorema do confronto. E agora vamos usá-lo para provar que o limite, quando x se aproxima de 0, do seno de x sobre x, é igual a 1. E eu quero fazer esse, porque esse é um limite super útil. E a outra coisa é que, às vezes você aprende o teorema do confronto, e fica totalmente: "bem, isso é óbvio mas quando vai ser útil?" E nós veremos. Na verdade, eu vou fazer no próximo vídeo, pois já estamos chegando nos 8 minutos. Mas veremos no próximo vídeo que o teorema do confronto é tremendamente útil quando estamos tentando provar isso aqui. Nos vemos no próximo vídeo.