Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Exemplo resolvido: teste da integral

Veja como o teste da integral é usado para determinar se uma progressão converge ou diverge.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA10MP – Vamos agora explicar para nós mesmos, de uma maneira mais formal, o teste da integral. Esse teste nos diz que se assumimos uma dada função f(x) se temos uma função f(x) que é positiva, contínua e decrescente em algum intervalo, incluindo “k” até o infinito, então podemos fazer uma entre duas afirmações. Podemos dizer que se a integral imprópria de “k” para o infinito de f(x) dx é convergente, então a soma, a série infinita de “n” é igual a “k” para infinito de f(n) também será convergente. E esse é o caso que vimos quando tínhamos 1 sobre n², mas vamos ver isso daqui a pouco. Mas a segunda afirmação que podemos fazer ou a segunda dedução que podemos fazer usando o teste da integral é se isso é o contrário. Se a integral de “k” para infinito, a integral imprópria de f(x) dx é divergente, portanto, a mesma afirmação verdadeira para as duas séries infinitas correspondentes. Então estas séries infinitas também serão divergentes. E como já mencionei no último vídeo, já vimos isso no caso de f(x) igual a 1 sobre (x²). Vimos que desde que a integral de 1 ao infinito de 1 sobre (x²) dx é convergente, e em verdade, é igual a 1. Por isso, podemos dizer que a soma de “n” é igual a 1 até o infinito de 1 sobre n². Por isso, podemos dizer que a soma de “n” é igual a 1 até o infinito de 1 sobre n² também é convergente. E agora podemos ver um exemplo em que seguimos o caminho contrário. Por exemplo, sabemos que esta integral, deixe-me escrever a integral. Começando com a integral de 1 para o infinito, mas não de f(x) é igual a 1 sobre x². Mas digamos que f(x) é igual a 1 sobre “x”. Vou escrever aqui, começando com f(x) é igual a 1 sobre “x” isso, sem dúvida, é positivo. E digamos que consideremos isso no intervalo de 1 para o infinito. Portanto, segue a primeira restrição, e nesse intervalo 1 sobre “x” é positivo, é contínuo e é decrescente. Cada vez que “x” aumenta f(x) diminui. Vamos ver qual seria a integral imprópria de 1 ao infinito disso. Se vamos de 1 ao infinito de 1 sobre “x”, 1 sobre “x” dx é igual a… Podemos escrever isso como um limite. Quanto mais “t” se aproxima do infinito da integral definida de 1 para “t” de 1 sobre “x” dx, o que é igual ao limite quando “t” se aproxima do infinito. Pegamos a antiderivada, que será o logaritmo natural de “x” de 1 até “t”. Na verdade, é o valor absoluto de “x”, mas estamos tratando de “x” positivo aqui, então será apenas o logaritmo natural de “x”, que é igual ao limite de “t” para o infinito do logaritmo natural de “t”. Ou poderia dizer do logaritmo natural do módulo de “t”, que será o logaritmo natural de “t” porque “t” é positivo, menos o logaritmo natural de 1. O log de 1 é zero. Portanto, é apenas o logaritmo natural de “t”. O limite disso vai para o infinito, mas este, ao se aproximar do infinito, será ilimitado. Isso também vai para o infinito, isso daqui é divergente, logo isso aqui é divergente, e porque isso é divergente, podemos dizer que pelo teste da integral nossa função neste intervalo é positiva, contínua e decrescente. Vimos que esta integral imprópria é divergente e ainda não provei isso rigorosamente, mas espero ter dado uma boa justificativa no vídeo anterior, que a série infinita de “n” igual a 1 para o infinito de 1 sobre “n”, que é a série harmônica, que isso também é divergente. Já mostramos que a série harmônica é divergente usando aquela bonita e elegante prova de Oresme. Devo estar falando o nome errado, então usei o teste da comparação. Mas agora usamos o teste da integral para mostrar que também é divergente. Mais uma vez, vamos lembrar qual é toda a motivação do teste da integral. Vou desenhar que f(x) é igual a 1 sobre “x”, então f(x) é igual a 1 sobre “x” e vai se parecer com… Digamos que isso é 1, 2, 3 e isso é 1, 2. Vejamos, quando “x” é 1 f(x) é 1, quando “x” é 2, f(x) é ½ ou ⅓, se é ½ será sobre 2 aqui. Parece com isso, então isso é f(x) igual a 1 sobre “n” mais uma vez o intervalo que interessa de 1 a infinito. Definitivamente, é positivo, contínuo e decrescente. E se olharmos para esta soma, poderemos vê-la como a soma de “n” igual a 1 para o infinito de 1 sobre “n” é igual a 1 mais ½, mais ⅓. E é claro, seguimos assim mais e mais. Neste caso, como queremos mostrar que é divergente, dizemos: "Vejam só, isso é a sobrestimação desta área." Vamos ser bem claros, temos esta área, temos esta área em verde, que é o que a integral imprópria está representando. Ela é a integral imprópria de 1 para o infinito, de 1 sobre “x” dx. Você pode ver isso como a sobrestimativa daquela área, então, primeiro, isso bem aqui pode-se dizer que é esta, é uma altura disso vezes a largura. Portanto, é este bloco que esta área é igual àquela e será igual a 1, logo esta aqui é ½. Podemos ver a área do próximo bloco, você pode ver isso como a soma de Riemann à esquerda, acho que é uma forma de pensar sobre isso. E então ⅓ será igual a este. E notei que eles todos, a área com a que nos importamos, a integral imprópria, está toda contida nestes blocos. Então isso será uma super, será uma maior estimativa do que isso. Mas já vimos que isto é indeterminado para infinito, isto é, divergente. Então se isto é maior que isto e isto é divergente, isto vai ao infinito. Logo isto também deve ir ao infinito e é exatamente daqui que o teste da integral está vindo.