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Prova dos critérios de convergência para séries p

Uma série p converge para p>1, e diverge para 0.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Você pode reconhecer que nós temos aqui, em amarelo, a forma geral de uma série "p". O que vamos fazer, neste vídeo, é ver quais são as condições necessárias para que essa série "p" seja convergente. E para que possa ser uma série "p", por definição, "p > 0". Então, vamos entender um pouco sobre estes gráficos aqui. Eles vão nos ajudar a entender quando esta série "p" converge. Nós temos que neste gráfico, a curva pode ser definida como "y = 1/xᵖ" Eu estou dizendo em termos gerais, porque ''p" é maior do que zero. Nós sabemos que vai ser uma função decrescente assim. Mais uma vez, nós temos aqui que "y = 1/xᵖ". E agora, o que temos nesta parte sombreada em relação ao tempo, acima do eixo "x" positivo, é a integral, a integral de 1 até o infinito, a integral imprópria do "x" do "p", "dx", de modo que nós a temos a área nesta parte sombreada em branco em ambos os gráficos. O que nós queremos, esperançosamente, é ver que há uma relação de convergência ou divergência entre essa série "p" e esta integral bem aqui, porque quando olhamos para este gráfico, vemos que esta série "p" pode ser visualizada como uma aproximação de Riemann superior desta área. O que eu quero dizer com isso? Bem, vamos pensar sobre a área deste primeiro retângulo. A largura é 1 e a altura é 1/1ᵖ. Então este seria o primeiro termo dessa série "p", e isso seria apenas as escalas do eixo "x" e do eixo "y', que não são os mesmos. E este outro retângulo aqui, a sua área seria 1/2ᵖ, e esta área seria de 1/3ᵖ. Assim, a soma das áreas desses retângulos, é o que essa série "p" é. E você pode ver que a área desses e retângulos estão cobrindo mais do que a área sob a curva, e assim, sabemos que a área sob a curva, que vai ser maior do que zero, esta série "p", vai ser maior do que esta integral, maior do que a área sob a curva. Mas se adicionarmos 1 para a área sob a curva, agora nós não estamos falando apenas sobre a área branca, nós estamos também falando sobre esta área vermelha aqui. Então, a nossa série "p", vai ser menos que isto, porque o primeiro termo na nossa série "p" é igual a 1, e em seguida, todos os outros termos, você pode ver como a aproximação de Reimann menor da curva. Você pode ver que eles se encaixam sob a curva, e eles deixam alguma área livre, então, isto vai ser menor do que essa expressão aqui. Agora, vamos pensar sobre o que acontece. Se nós sabemos que esta bem aqui diverge, assim, se esta integral imprópria diverge, ela não converge para um valor finito, bem, a série ''p" é maior do que isso. Por isso, se este diverge, em seguida, também vai divergir. De forma similar, se este converge, a mesma integral sobre este valor aqui, se isso converge, ela vai ter um valor finito. Assim, mais um está a convergir, de modo que, ou a série ''p" também deve convergir ou ela deve ir para um valor finito. Esta é apenas um teste da integral. Quando nós pensamos sobre teste de convergência e divergência, só estou certificando de que nós vamos ter um agradável entendimento conceitual, e não apenas aplicando cegamente o teste da integral. Você pode também pensar de outra forma se a série "p" converge. Então com certeza, esta integral vai convergir, e se a série "p" diverge, então, com certeza esta expressão bem aqui vai divergir, minhas integrais divergem. Assim, podemos dizer que a série "p" converge se, e somente se, esta integral bem aqui convergir. Então, descobrir as condições para que "p" faça de uma série "p" convergente, então, vamos lá para baixo para ver alguns elementos que vão nos ajudar a pensar sobre o que tem que ser verdadeiro para que uma integral convirja. Então eu vou reescrevê-la aqui. Nós temos integral de 1 para o infinito, uma integral imprópria, ao longo de 1/xᵖ·dx. Esta é a mesma coisa que o limite de "M" que se aproxima do infinito, e a integral de 1 até "M" de x⁻ᵖ·dx. Vamos nos focar nisto aqui. Basta lembrar que vamos ter de tomar o limite de quando o "M" se aproxima do infinito, eu não quero ter que continuar a escrever isso outra e outra vez. Mas vamos pensar sobre o que é isso. Há um par de condições. Nós sabemos que "p > 0", mas há duas situações bem aqui. Há uma situação em que "p = 1". Se "p = 1", este é apenas o integrante de 1/x. Então, esta coisa aqui vai ser a integral do [lnx]. E nós vamos passar de 1 para "M". Então, este seria o logaritmo natural de "M" menos o logaritmo natural de 1. Bem, "e" elevado à potência zero é 1, menos o logaritmo natural de 1. Mas "ln1" é apenas zero. Portanto, neste caso especial, acho que podemos dizer, quando o "p = 1", essa integral de 1 para "M" vem para baixo. Agora, vamos pensar sobre a situação onde "p" não é igual a 1. Bom, nós estamos com uma espécie de que aprendemos em diferenciação básica. Então, nós vamos incrementar o expoente, de modo que x⁻ᵖ + 1, e podemos até mesmo escrever que, como x⁻ᵖ, que é a mesma coisa com um "p" negativo mais 1, então poderíamos dividir por isso, "1 - p". E nós estamos indo de 1 para "M", por isso, este valor aqui vai ser igual a: (M¹⁻ᵖ/1-p) - (1¹⁻ ᵖ/1-p). Então, agora, vamos indicar os limites. Lembre-se desta integral. Não vamos pegar a antiderivada ou integral definida aqui. Mas depois, queremos levar o limite como "M" se aproxima do infinito, do "lnM". Bem, se "M" vai de forma ilimitada ao infinito, o logaritmo natural de que ainda está em curso também irá para o infinito. Então, quando "p = 1", essa coisa não irá convergir, essa coisa é apenas ilimitado. Então, quando "p = 1", a série diverge, então, nós sabemos disso. Vamos pensar sobre isso, o limite de quando "M'' se aproxima do infinito desta expressão bem aqui. A única parte que realmente é afetada pelo limite é esta parte que tem o "M". Então, poderíamos tomar este sobre "1 - p" fora deste. Poderíamos dizer 1/(1 - p) vezes o limite quando "M" se aproxima do infinito de M¹⁻ ᵖ e depois, separadamente, podemos subtrair 1¹⁻ ᵖ para qualquer expoente, é apenas 1/(1 - p). Isso está certo? Sim, não importa o expoente que eu coloquei aqui, 1 para qualquer expoente vai ser 1. Uma coisa interessante sobre se converge ou não, é esta parte da expressão. E tudo vai depender se este expoente é positivo ou negativo. Se "1 - p" é maior do que zero, se eu vou ao infinito e estou tendo, nessa coisa, um expoente positivo, então, isso vai divergir. Nesta situação, diverge, adicionar "p" para ambos os lados. É a mesma coisa que "1 > p", ou "p" sendo menor do que 1, então, nós vamos divergir. Até agora, sabemos que "p" vai ser maior do zero, e vimos, se "p" é 1 ou se é menos de 1, vamos divergir. Mas se este expoente bem aqui é negativo, se "1 - p" é menor do que zero, bem, vamos pensar sobre isso. Então, isto vai ser 1/M, para alguns expoentes positivos. É uma maneira de pensar sobre isso. Assim, como "M" se aproxima do infinito, esta coisa toda vai se aproximar de zero, portanto, esta é realmente uma situação onde a série converge, onde chegamos a um valor finito. Então, adicionamos "p" para ambos os lados, temos que "1 < p", que converge. Então, você tem isso. Nós estabelecemos. Esta integral vai convergir apenas em situações em que "p > 1". "p > 1", converge, e se zero é inferior a "p", é menor ou igual a 1, então diverge. E esses são a exata causa disso. Então a nossa série "p" converge se, e se somente se a integral convergir. E assim, essas mesmas restrições exatas se aplicam à nossa série "p" original. A nossa série "p" original converge apenas na situação onde "p > 1", então, ela converge. Se zero é inferior a "p", é menor ou igual a 1, então a série diverge.