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Teste da comparação no limite

Em alguns casos nos quais o teste da comparação direta é inconclusivo, podemos usar o teste da comparação no limite. Aprenda mais sobre isso aqui.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Neste vídeo, vamos fazer o teste de comparação e o teste de comparação por limite para o somatório de uma série, para ver se ela converge ou não. Vamos supor que você tenha uma série "n = 1" até infinito de 1 sobre "2ⁿ + 1". O que você pode fazer? Você pode pegar uma série que você saiba que ela converge. Por exemplo, somatório de "n = 1" até o infinito de 1 sobre 2ⁿ. Você sabe que ela converge, que é uma progressão geométrica de razão 1/2. E, obviamente, cada termo é a metade do termo anterior. Então, é uma série convergente. Nós sabemos disso! Então, já que nós sabemos disso, vamos comparar. Nós temos aqui 1 sobre 2ⁿ e temos 1 sobre "2ⁿ + 1". Verificamos que 1 sobre "2ⁿ + 1", sempre vai ter um denominador maior do que 1 sobre 2ⁿ. Ora, se este denominador é maior, significa que esta fração é menor. Ora, se a gente sabe que este somatório converge, significa que, como este somatório aqui é menor, ele também converge. Agora, se nós pegarmos um somatório que não possamos comparar dessa forma, por exemplo, "n = 1" até o infinito de 1 sobre "2ⁿ - 1". O que nós podemos fazer? Nós podemos fazer o teste por comparação, por limite. Ou seja, se nós temos uma série de "n = k" até infinito de "aₙ", e outra série de "n = k" até infinito de "bₙ". Onde nós temos que nosso "aₙ" é maior ou igual a zero, e nosso "bₙ" é maior do que zero. para todo "n = k", "n = k + 1", etc se o limite de aₙ / bₙ, quando "n" até infinito for positivo e finito, significa que ou ambas as séries convergem, ou ambas as séries divergem. Então, vamos pegar uma série que a gente sabe que converge, e vamos chamar isso aqui de "bₙ". E vamos pegar a série, queremos saber se ela converge ou não. Então, como é que fica o nosso limite? Fica o limite de "n" tendendo ao infinito, "aₙ" nós estamos chamando de 1 sobre "2ⁿ - 1" sobre "bₙ", que é 1 sobre 2ⁿ. Aqui nós ficamos com o limite de "n" tendendo ao infinito de 2ⁿ sobre "2ⁿ - 1". Já sabemos aqui que dá 1, porque 2ⁿ vai dominar aqui esse -1 vai ter importância. Mas vamos colocar de outra forma para ficar mais claro. Então, fica o limite de "n" tendendo ao infinito. Vamos dividir o numerador e o dominador por 2ⁿ. Portanto, fica 1 sobre "1 - 1/2ⁿ". Obviamente, isto aqui vai tender a zero e este limite vai ficar positivo e finito. Ora, se ele é positivo, finito, ambos são convergentes ou ambos são divergentes. Como nós sabemos que "bₙ" é convergente, significa que "aₙ" é convergente também.