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Exemplo resolvido: estimativa de série com integrais

Veja como podemos usar integrais impróprias para aproximar a soma infinita de 1/n².

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Transcrição de vídeo

[RKA20C] No último vídeo, nós vimos que, se tivermos uma série infinita em que cada termo é uma função de n e a própria função é contínua positiva, uma função decrescente sobre os intervalos que queremos, vamos assumir que essas séries convergem para, então, podermos estimar as séries. Podemos estimar o valor em que elas convergem usando um número finito de termos e algumas integrais. E o jeito como estabelecemos essas integrais é porque, quando dividimos o somatório em soma infinita, e, depois, em outra série infinita, estamos prestes a formar séries infinitas de duas formas diferentes. Isto poderia ser uma subestimativa desta integral bem aqui. Ou isto pode ser uma superestimativa desta integral aqui. Por causa disso... isso nos permite não só estimar S, mas colocar limites nele. Se podemos calcular o lado esquerdo e o lado direito aqui para alguma série infinita, então, podemos estabelecer nosso limite em S. Então, vamos ver, aplicando isso a uma série particular. Vamos dizer que as séries infinitas que queremos aplicar... Vou fazer aqui na cor amarela: Σ de n = 1 para ꚙ de 1/n². Vamos dizer que não sabemos como encontrar o valor exato aqui, mas queremos estimar. Vamos dizer que queremos estimar usando os primeiros cinco termos. Então, vamos fazer o S em 5 igual ao Σ de n = 1 para o ꚙ. Desculpa, até 5 de 1/n². Vejamos, isso vai ser igual a... Vamos usar a calculadora. Isso vai ser 1 mais 1/2², que é 1/4, mais 1/3², que é 1/9, mais 1/4², que é 1/16, mais 1/5², que vai ser 1/25. Nós temos este valor bem aqui. Então, eu só vou dizer que isso é aproximadamente 1,464. Aproximadamente 1,464. E, se nós calcularmos cada uma dessas integrais, então, o nosso k, neste caso, vai ser 5. Escolhi arbitrariamente, mas poderíamos pegar uma melhor estimativa se quiséssemos um k maior, se fizéssemos os 10 ou 20 primeiros termos. Poderíamos ter uma estimativa pior se fizéssemos k = 3, mas eu peguei k = 5, pois parece razoável, algo que eu posso calcular. Não precisaria da calculadora, poderia ter feito à mão... Levaria mais tempo. Vamos calcular estas integrais aqui. A integral de 5 vezes 1, então é 6, para o ꚙ de 1/n² dx. Vejamos, isso vai ser igual a... Vou escrever deste jeito. Vai ser igual ao limite... Vou fazer tudo isso em azul. Isso vai ser igual ao limite enquanto... Vamos introduzir uma nova variável: b se aproxima do ꚙ, da integral de 6 até ꚙ de 1/n² dx, que é igual ao limite enquanto b se aproxima do ꚙ de... Vejamos, a antiderivada disso é -n⁻¹. Vamos calcular isso em b e em 6. Então, isso vai ser igual ao limite enquanto b se aproxima do ꚙ, de 1/-b mais 1/6. Enquanto b se aproxima do ꚙ. Este termo bem aqui vai ser até 0, então, isso vai ser igual a 1/6. E podemos usar a mesma lógica para calcular a integral. Então, vamos fazer isso. Na verdade, vou fazer isso bem aqui. Então, a integral é imprópria, eu deveria dizer. Aqui vamos calcular, não do 6, mas do 5. É o nosso k. 5 para ꚙ de 1/n² dx. Bem, a única diferença aqui entre estas duas integrais é este limite inferior. Isso era 1/6. Pelos mesmos argumentos, isso vai acabar sendo 1/5. Agora, podemos colocar tudo nessa desigualdade composta. Vamos ter 1,464, estou aproximando um pouco. Na verdade, este S - k, do qual temos o valor exato na nossa calculadora, é 1,464... ...mais 1/6, é menor ou igual ao nosso Σ, aquele que nos preocupa, que é ≤ 1,464 + 1/5. Este aqui é bem fácil de calcular. Isso vai ser 1,264, então, isso vai ser menor ou igual... O Σ vai ser menor ou igual a isso. Então, deste lado, se pegarmos a nossa expressão original, e depois eu adicionar 1/6, fico com... Hã... 1,6302. Vamos arredondar para 1,630. Deste lado... Meu cérebro estava com mau funcionamento. Deste lado, deveria ser 1,664. 1,664. Ok! Isto deve ser 1,63 alguma coisa, e isto pode ser 1,4 alguma coisa. Pode ser 1,5 alguma coisa, pode ser 1,66... Mas isso já está nos dando muita precisão. Não vamos ligar para números com mais de 10 casas. Terminamos! Sabemos que vai ser 1,6 alguma coisa. Se formos um pouco mais longe, isso já dá muita precisão. Podemos imaginar que, se colocar mais algum termo no somatório parcial, você pode ter ainda mais precisão. Então, ainda bem que você achou este! É um exercício arrumado. Conseguimos uma boa precisão apenas com o somatório parcial e a ajuda dessas integrais. Mas demos um bom salto nisso! Sabemos que o Σ que estamos convergindo está entre estes dois valores.