Estimativa de série com integrais

RKA4JL - Digamos que S é o valor para que essa série infinita irá convergir. Vamos assumir que essa série converge e da definição de séries, cada termo será uma função de n. Vamos assumir que essa é do mesmo tipo de série que olhamos quando estávamos vendo o teste de integral, ou que essa função é contínua crescente positiva em um dado intervalo desejado. Então é contínua, é positiva e é decrescente. Aqui não está dizendo contínua mais decrescente. Deixe-me escrever de outro jeito. Continua positiva e é decrescente. Então ela poderia ser uma função que parece com isso. Agora meu objetivo neste vídeo é ver se conseguimos estimar uma variação em torno de S. Isso será muito útil porque temos visto algumas séries infinitas que não seremos capazes de descobrir exatamente para onde elas convergirão, e também teremos que usar um computador ou fazer à mão. Nesses casos é bom saber quão boa sua estimativa é e também queremos ter uma boa estimativa com menor esforço computacional possível. Vamos pensar em como poderemos fazer isso. O jeito de lidar com isso, como pode imaginar, é irmos por partes. Essa soma infinita nós vamos separar em uma soma de uma soma finita. Digamos que os primeiros k termos, então é igual a k de f(n). Isso é calculável. Se k for pequeno o bastante e se f for uma função simples o suficiente, você poderia fazer isso à mão, mas também poderia fazer no computador. Então será isso mais outra série infinita. Mas agora você vai pegar o (k mais 1), o termo (k mais 1) e irá para o infinito de f(n). Então se pudermos colocar alguns limites aqui... Vamos pôr algumas limitações bem aqui porque isso é apenas uma soma de uma soma parcial da soma parcial dos primeiros k termos e os restantes que nós teremos depois de conseguir o valor atual. Então, poderíamos ver o que fica depois que tiramos a soma parcial, e isso é mais fácil de escrever do que este aqui. Então a chave é: podemos encontrar algum limite para isso? Para fazer isso, eu venho a esse gráfico e utilizo argumentos ou algumas ideias conceituais que usamos no teste da integração. Existem dois caminhos de conceitualizar o que a soma representa relativamente a este gráfico. Como veremos, pode-se representar uma estimativa alta da área entre a soma, o valor x e o infinito e pode-se representar uma baixa estimativa de uma região diferente. Então, vejamos. Primeiro vamos pensar sobre a baixa estimativa. Se isso aqui, que vamos dizer que seja k (deixe-me fazer com outra cor). (Deixe-me fazer na cor amarela). Vamos dizer que isso aqui é k, isso é (k mais 1), vamos fazer esse (k mais 2), (k mais 3), e assim por diante. Um jeito de conceitualizar isso aqui é sendo a soma dos seguintes retângulos. Então o primeiro termo é a área desse primeiro retângulo porque a altura da área ou altura do retângulo é f(k mais 1) e a sua largura é 1. Então f(k mais 1) vezes 1, essa área será f(k mais 1), que é exatamente f(+1), que é esse termo aqui. Então o segundo tempo, pelo mesmo argumento, pode representar a área deste retângulo. O terceiro termos poderia representar a área do retângulo, e assim poderíamos continuar. Então qual é a soma da área desses retângulos? O que é a soma desses termos está representando? Você poderia ver como uma estimativa, poderia ver como a estimativa da área sob a curva entre x igual a k, x igual ao infinito, mas isso será uma baixa estimativa. Repare que eles estão totalmente contidos nessa área, então um jeito de pensar nisso é se nosso R índice k é menor ou igual a essa área subestimada entre x igual a k e infinito, f(x) dx. Então isso, essencialmente, nos dá um limite superior. Isso é interessante, porque agora podemos dizer se S, então nós sabemos que S é igual a isso, se isso é menor do que essa coisa aqui, nós podemos dizer que S vai ser menor ou igual à soma parcial mais essa coisa mais a integral imprópria de k até o infinito de f(x) dx. Repare que isto é igual a isso, e agora, desde que isto seja menor que isso, isso deve ser menor do que o que nós temos no lado direito. Sendo assim, se formos capazes de calcular essas duas coisas (e frequentemente somos capazes de computar essas duas coisas) poderemos pôr um limite superior à soma atual. E agora? E sobre colocar um limite inferior? Se pudermos conceitualizar a mesma soma, o mesmo r índice k, ao invés de conceitualizar desse jeito em que o primeiro termo aqui não representa este retângulo, mas sim este retângulo, repare que ele tem a mesma altura, mas foi trocado um espaço para a direita. O segundo termo representa este retângulo, o terceiro termo representa esse retângulo. Por que isso faz sentido? A área desse primeiro retângulo é igual à altura, que é k, mais um vezes a largura, que é 1, que será f(k mais 1). Então esta área é o primeiro termo, essa área é o segundo termo essa área é o terceiro termo e essa área é o quarto termo. Um jeito de pensar nisso é que nós apenas passamos todos os retângulos amarelos um para a direita, mas agora a aproximação se dá em uma região diferente. Essa é a aproximação da área sobre a curva, não de k até o infinito, mas de (k mais 1) até o infinito e ao invés de ser uma estimativa baixa, é uma estimativa alta. Agora a curva é contida dentro dos retângulos, então poderemos dizer que R índice k nesse contexto, quando conceitualizamos deste jeito, será maior ou igual à integral imprópria não de k, mas de (k mais 1) até o infinito de f(x) dx. E o que isso permite fazer? Isso põe o limite inferior nisso, que também vai pôr um limite inferior nisso. Se isso é maior que aquilo, então isso será maior que isso trocado pela integral imprópria. Podemos escrever aquilo. Então S será maior ou igual a S índice k mais a integral imprópria de (k mais 1) até o infinito de f(x) dx. Agora você pode estar dizendo "Ei, isso parece loucura. Você teve toda essa abstração aqui, introduziu um sinal de integral e isso parece assustador", mas como veremos nos próximos vídeos, às vezes é bastante simples de calcular. Pode ser simples de calcular se o k não for muito grande, e mesmo se for, um computador pode fazer. Então alguns frequentemente são resolvidos numericamente, mas, mais frequentemente, nós podemos calculá-las usando nossa ferramenta analítica ou poderíamos dizer usando o poder do cálculo. Isso é o que nos permite chegar bem perto do valor em que ela convergirá. Como veremos, quanto maior nosso k, melhor a estimativa que temos e será mais justa a nossa confiança naquela estimativa. Outro jeito de contribuir na transcrição dessas desigualdades é escrever como S sendo menor ou igual a esse negócio. Então copie e cole, e S será maior ou igual a esse negócio. Então podemos dizer que esse negócio será menor ou igual a S. Então deixe-me copiar e colar isso aqui. Copiar e colar. Ops, não é isso que eu queria fazer. Então, copiar e colar. E assim podemos escrever desse jeito. Na próxima série de vídeos aplicaremos isso e veremos que é bem simples. Parece assustador agora, mas é bem simples.