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Exemplos práticos: séries geométricas finitas

Sente na primeira fila para ver as soluções passo a passo apresentadas para resolver séries geométricas finitas. Aprenda a encontrar a soma dos primeiros 50 termos de uma série multiplicando cada termo por uma razão comum. Descubra como aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica finita. Além disso, veja como lidar com séries com variação de sinal.

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Transcrição de vídeo

RKA - Temos aqui uma soma de uma progressão geométrica de n = 50. Ou seja, os 50 primeiros termos. A primeira coisa a identificar é: qual é a razão. De 1 para 10/11, foi multiplicado por 10/11. De 10/11 para 100/121, foi multiplicado por 10/11 também. Portanto, a nossa razão é 10/11. E o nosso primeiro termo é 1. Então, nosso primeiro termo é 1, a1 = 1. Nós temos o primeiro termo, temos a razão, e temos o número de termos. Portanto, colocando na expressão geral, sn é igual a: o primeiro termo, 1 - q elevado a n. Sobre 1 - q. Nós vamos ter: o s50 é igual a... a1 é 1. Vezes 1 - q. O q, a nossa razão, é 10/11... Elevado a n, que é 50. Sobre 1 menos a razão, que é 10/11. Então, temos aqui no denominador: 1 - 10/11... Vamos ficar com 11 - 10/11, aqui vai dar 1/11. E vamos repetir aqui o numerador, 1 - 10/11, elevado a 50. Então, temos a soma dos 50 primeiros termos como: 11 vezes 1 - 10/11 elevado a 50. Essa é a melhor maneira de expressar. Podemos colocar o 11 aqui para dentro, mas de qualquer forma não vai alterar, e essa maneira está... Uma forma simples de expressar. Vamos ver outra questão. Aqui nós temos uma progressão geométrica que está alternando. Ou seja, você tem o primeiro termo, e o segundo termo está sendo multiplicado por - 0,99. O terceiro termo, quando você multiplicar por -0,99 novamente, você vai ter +0,99², e assim sucessivamente. É importante verificar a quantidade do número de termos. A gente vê que... Aqui nós temos... Quando o expoente é ímpar, nós temos menos na frente. Quando o expoente é ímpar, nós temos o menos na frente de 0,99. E quando o expoente é par, nós temos mais. Aqui nós temos o expoente ímpar, 79, então temos -0,99 elevado a 79. Mas esse é o octogésimo termo. Por que esse é o octogésimo termo? Esse termo aqui, de número 1, é o primeiro termo. Esse termo em que nós temos 0,99¹ é o nosso segundo termo. Esse termo em que temos 0,99² é o nosso terceiro termo. E assim sucessivamente. Esse aqui vai ser nosso quarto termo. Então, quando temos 0,99 elevado a 79, esse aqui é o nosso termo de número 80. Então, temos n = 80... O nosso primeiro termo, a1, é igual a 1. E temos a razão como sendo -0,99. Colocando na expressão geral, vamos ter: s80 é a1, que é 1, 1 menos a razão, que é -0,99, elevado a n, que é 80, sobre 1 menos a razão, que é -0,99. Então, nós temos o seguinte: no numerador, vamos ficar com 1 menos... Como o expoente aqui é par... -0,99 elevada a um expoente par vai dar um número positivo. Então, podemos expressar dessa forma: 0,99 elevado a 80. E aqui, no denominador, nós temos: 1 - (-0,99)... Menos com menos dá mais, então nós temos 1 + 0,99. Será 1,99. Portanto, essa é a expressão final da nossa soma do primeiros 80 termos. Vamos fazer mais uma. Aqui nós temos uma maneira recursiva de achar a progressão geométrica. E nós queremos a soma dos n primeiros termos que, no caso... 30 termos. Então, para acharmos essa progressão geométrica, ou a soma dela, nesse caso, nós vamos pegar o primeiro termo... Para achar o segundo termo, nós pegamos o termo anterior e multiplicamos pela razão. Portanto, nós já sabemos que a razão vai ser 9/10. Nós temos o primeiro termo. O segundo termo fica multiplicado por 9/10. Então, nós temos 10 vezes 9/10 mais... O terceiro termo vai ser multiplicado também por 9/10, porque é o termo anterior vezes 9/10, o termo anterior é esse... Multiplicado por 9/10, nós vamos ter 10 vezes 9/10 elevado à segunda. E assim sucessivamente até os 30 primeiros termos. Portanto, nós temos a quantidade de termos... Nós temos a nossa razão, e nós temos nosso primeiro termo, que é 10. Nós vamos ter que o s30 vai ser: a1, que é 10, vezes 1 - q elevado a n. O que vai ser 9/10 elevado a n, que é 30. Sobre 1 - q, 1 - 9/10. Vamos ter, então, 10 vezes 1 - 9/10 elevado a 30 sobre... Aqui, nós temos 10 - 9/10, que vai ser 1/10. Pegando a primeira, e multiplicando pelo inverso da segunda, nós vamos ter 100 vezes 1 - 9/10 elevado a 30. E essa é a nossa resposta final.