Conteúdo principal
Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 7
Lição 14: Série de Maclaurin de sen(x), cos(x), e eˣ- Série de Maclaurin de cos(x)
- Série de Maclaurin de sen(x)
- Série de Maclaurin de eˣ
- Fórmula e identidade de Euler
- Exemplo resolvido: série de potências a partir do cos(x)
- Exemplo resolvido: função cosseno a partir da série de potências
- Exemplo resolvido: reconhecimento de função a partir da série de Taylor
- Série de Maclaurin de sen(x), cos(x), e eˣ
- Visualização de aproximações da série de Taylor
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Série de Maclaurin de cos(x)
Aproximação do valor do cos(x) com uma série de Maclaurin (que é como um polinômio de Taylor centrado em x=0 com infinitos termos). Resulta que esta série é exatamente igual à própria função! Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
O cosseno de x também pode ser descrito da seguinte maneira:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x^{2}\right)^{n}}{\left(2n\right)!}(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA10MP – No vídeo passado,
vimos que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor,
quando ela é centrada no zero. Neste vídeo, vamos ver qual
é a série de Maclaurin para a função cosseno de “x”. Então temos f(x)
igual a cos “x”, f '(x) vai ser -sen “x”, f ''(x) vai ser -cos “x”, f '''(x) vai ser +sen “x”, e f ''''(x) vai ser cos “x”, e voltamos a ter cos “x” de novo, e se formos derivando,
vamos ter de novo esta sequência. Então como é que fica o polinômio
da série de Maclaurin para cos “x”? Vai ficar f(0) x⁰ sobre zero fatorial
e zero fatorial é igual a 1, então f(0) cosseno de zero é 1,
portanto, aqui temos 1. Depois temos f '(0) vezes “x”. f '(0) é igual a -sen de zero, que vai
dar zero, então não vai ter este termo. f ''(0) vezes x² sobre 2 fatorial. Então você tem f ''(0) vai ficar -cos de zero, vai ficar -1… -1 sobre 2 fatorial, mais f '''(0)… f'''(0) é seno, portanto,
este termo não vai existir. Já estamos vendo um padrão,
que os termos ímpares não existem. E agora f ''''(0) vai ser
o próprio cos de zero, ou seja, vai ser +x⁴ sobre 4 fatorial. Notamos o padrão e vemos
que o primeiro é positivo, depois é negativo, depois é positivo,
pulando de dois em dois, podemos agora verificar
que o próximo termo vai ser negativo, vai ser -x⁶ sobre 6 fatorial. O próximo termo vai ser
+x⁸ sobre 8 fatorial. O próximo termo vai ser
-x¹⁰ sobre 10 fatorial, ou seja, é muito interessante
como representamos a função cos “x” na forma polinomial
da série Maclaurin.