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Série de potências de arctg(2x)

Nós podemos representar arctg(2x) com uma série de potências, representando sua derivada como uma série de potências e então integrando essas séries. Você tem que admitir que isso é muito legal.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Vamos utilizar a série de MacLaurin para colocar o arco tangente de 2x na série polinomial que seja uma aproximação desta função. A primeira coisa que nós podemos verificar é que a derivada do arco tangente de 2x dx vai ser igual a 2, pela regra da cadeia, sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x². Vamos chamar isto de f(x). Vamos pegar uma função bem mais simples. g(x) = 1 sobre 1 + x. Com isso, nós podemos pegar os índices, uma vez que g(x) vai ser igual a (1 + x)⁻¹. Portanto, g'(x) vai ser igual a -(1 + x)⁻² , g''(x) vai ser -2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³ e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6, vezes (1 + x)⁻⁴. Então, nós temos que a função g(x) pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin, como g(0), que vai dar 1, menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x", então, -x, mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x², mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial, vezes x³. Vamos ficar até este grau. Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x². Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²). Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual a 2 vezes 1, menos... no lugar de "x", colocamos 4x², mais... 2 sobre 2 fatorial é 1, então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴, menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1, então, nós ficamos com: (4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16, vezes 4 = 64x⁶. Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x², mais 32x⁴, menos 128x⁶. Mas nós sabemos que a derivada do arco tangente de 2x é o que nós estamos chamando de f(x). Portanto, nós temos que a derivada do arco tangente de 2x dx é igual ao nosso f(x). Portanto, se integrarmos de ambos os lados, nós vamos ter que o arco tangente de 2x vai ser igual à integral de f(x) dx. Portanto, o arco tangente de 2x vai ser a integral deste polinômio, que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³ mais (32/5)x⁵, menos (128/7)x⁷, mais uma constante "c". Nós sabemos que a série de MacLaurin é centrada no zero. Portanto, esta constante vai cair para zero. E ficamos, então, com a aproximação que o arco tangente de 2x vai ser igual a 2x - (8/3)x³, mais (32/5)x⁵, menos (128/7)x⁷, aproximadamente. Vamos verificar na simulação entre -30 graus e +30 graus. Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente e, em vermelho, nossa simulação. Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo e, em vermelho, nós temos a nossa simulação. Vemos que, de -30 graus a +30 graus, ele é bem próximo. Na realidade, a partir de -35 radianos até +35 radianos, ele fica muito próximo, uma curva fica exatamente em cima da outra. Portanto, é uma boa aproximação.