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Série de potências de ln(1+x³)

Nós podemos representar ln(1+x³) como uma série de potências, representando sua derivada como uma série de potência e então integrando essas séries. Você tem que admitir que isso é muito legal. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Temos aqui uma série infinita e a primeira coisa que eu sugiro que você faça é pausar o vídeo e ver se consegue expressar isso com uma série geométrica infinita. E se você puder fazer isso, veja se consegue verificar qual é o resultado dessa soma no intervalo de convergência e então descobrir sobre qual intervalo de x sua série geométrica infinita convergirá e qual será, na verdade, o resultado dessa soma. Assumindo que você entendeu o problema vamos tentar resolver isso juntos. Vamos primeiro fatorar isso aqui, o que vai simplificar o modo como expressamos a série. Então, vejamos. Se eu fatoro, parece que todos são divisíveis por 3x². Então posso rescrever isso como 3x² vezes (1 menos x³) mais x⁶ menos x⁹. E um padrão está surgindo. Agora eu tenho que fechar os parênteses e vou usar a mesma cor aqui. Vamos ver... Parece que estamos tomando potências do tipo x³. Vou escrever assim: isso é o mesmo que 3x² vezes... Podemos escrever esse primeiro termo como x⁰. Então (-x³) elevado à primeira potência mais (x³) elevado à segunda potência. Acho que você já percebeu a lógica. Então temos (x³) elevado a terceira potência. Isso continua, mas temos que nos preocupar com os sinais, a troca de sinais que manteremos. Então isso vai ser -1, que é positivo e é a mesma coisa que (-1)⁰. Isso é negativo, que é (-1)¹. Então vamos escrever assim: isso pode ser 3x² vezes o primeiro termo, que podemos descrever como -1, ou podemos escrever com (-x³) elevado a zero. Então teremos mais e podemos escrever como (-x³) elevado à primeira potência. -1¹ é igual a -1. (x³) elevado a 1 é igual a x³, então (-x³) elevado à segunda potência mais (x³) elevado à terceira potência e esse termo aqui, (-1)³ é igual a -1 e (x³) elevado ao cubo é igual x⁹. Então vamos seguindo. Dessa forma fica muito claro qual é a nossa razão comum. A nossa razão comum aqui é -x³. E sobre qual intervalo isso vai convergir? Vai convergir se nosso fator comum, se nosso valor absoluto de nossa razão comum for menor do que 1. Então isso vai convergir se o valor da nossa razão comum, o valor absoluto de nossa razão comum, que é igual ao -x³, for menor do que 1. Ou então uma outra maneira de dizer isso é que o valor absoluto de um número negativo é igual ao valor absoluto de um número positivo. Então eu posso dizer que o valor absoluto de x³ é menor do que 1 ou dizer que x³ é menor do que 1 e é maior do que -1. Isso vai acontecer se, ao tomar a raiz cúbica de ambos os lados disso ou de todos os lados dessa inequação, obtivermos que x deve estar entre -1 e 1. E este, então, vai ser o nosso intervalo de convergência. Se nós restringirmos nosso x a esse intervalo, quanto valerá esta soma? Isso é uma série geométrica infinita. Nossa razão comum, seu valor absoluto é menor do que 1. Então essa soma resulta em... Vai ser igual ao nosso primeiro o termo (acho que eu posso afirmar isso, já que está multiplicando a expressão toda), então vai ser nosso primeiro termo, que vai ser 3x² sobre (1 menos nossa razão comum), então é (1 menos x³) que resulta em (1 mais x³). Então o que fizemos até agora foi mostrar que esta coisa aqui é igual a essa sobre o intervalo de convergência. Então vou escrever isto aqui. Vou copiar e colar. Então, sobre o intervalo de convergência, se x está entre -1 e 1, essas duas expressões são a mesma. Agora podemos começar a calcular. Isso aqui parece interessante. Você deve lembrar que isso é semelhante à derivada de algo familiar. 1 mais x³, qual a derivada disso? É justamente 3x². Então isso, bem aqui, é a derivada do logaritmo natural de 1 mais x³ ou o valor absoluto de 1 mais x³. Se você não acredita em mim, então vamos tomar a antiderivada disso aqui. De fato, por diversão, podemos tomar a antiderivada de ambos os lados. Se fizermos isso, então iremos mostrar essencialmente uma representação em série geométrica do que quer que seja a antiderivada disso. Então, encorajo você a pausar o vídeo de novo e tentar tomar a antiderivada de ambos os lados dessa equação. Então vamos lá, vamos tomar a antiderivada do lado esquerdo desta equação e tomar a antiderivada do lado direito. Do lado esquerdo eu mencionei que parece que temos uma expressão e sua derivada que está pedindo por uma integração por substituição. Então se considerarmos que "u" é igual a 1 mais x³ (deixe-me escrever isso). Então u é igual a 1 mais x³. E o que vai ser "du", a diferencial de u? Então "du" vai ser igual a 3x² dx. Note que nós temos u e, então, "du". "du" é isso bem aqui. Então isso, essa expressão aqui, pode ser reescrita como a integral de (1 sobre u) "du". Então é claro que isso vai ser igual ao logaritmo natural do valor absoluto de u mais alguma constante. E nós sabemos que u é igual a 1 mais x³. Então vai ser igual ao logaritmo natural do valor absoluto de 1 mais x³ mais C. Agora vamos restringir nosso domínio para x. Ele sempre será entre -1 e 1, de forma que para aquele domínio x sempre vai ser positivo. Não temos que escrever o símbolo de valor absoluto, então isso vai ser igual ao logaritmo natural de 1 mais x³ mais C. Então isso é o lado esquerdo. O lado direito é muito mais simples de calcular. Isso é simplesmente um polinômio, mas teremos que somar uma constante e essa integral. Então irei distingui-las um pouco. Vamos chamar essa de c₁. Então do lado direito o que nós obtemos? Vamos ver, a antiderivada disso vai ser... A antiderivada x² é x³ dividido por 3, então nesse primeiro termo a antiderivada vai ser apenas x³. A derivada de x³ é 3x². Agora esse termo aqui é -3x⁵. A antiderivada de x⁵ é x⁶, x⁶ sobre 6. Mas como temos 3 multiplicando, então 3 sobre 6 é ½, e isso vale -x⁶ dividido por 2. Deixe-me usar uma cor diferente aqui, seguindo uma notação coerente. Então este aqui é negativo. A antiderivada é -x⁶ sobre 2. Então a antiderivada de x⁸ é x⁹ dividido por 9. Então isso vai ser x⁹. Então temos esse 3. 3 sobre 9 é ⅓. E você pode ver um padrão aparecendo. Vamos fazer outro só por diversão. No x¹² dividido por 12 temos esse 3, então -x¹² sobre 4. Continuando, e claro, vamos ter uma constante e de fato nós colocamos a constante na frente. Vamos copiar e colar. Então estou copiando e colando. Agora vou escrever aqui e colocar outra constante, que não tem que ser a mesma constante, mais tudo isso aqui. Agora, para simplificar, eu posso subtrair c₁ de ambos os lados. Subtrair c₁ de c₂, então vou ficar com o logaritmo natural de 1 mais x³ (É legal o que acabamos de fazer com um pouco de integração). que é igual a c₂ menos c₁ e isso é uma constante menos outra constante, então vai ser uma constante arbitrária. Uma constante arbitrária mais tudo isso aqui. Nós podemos descobrir quanto vale esta constante tentando alguns valores para x que estejam dentro do nosso domínio restrito para x. Bem, x igual a zero está entre -1 e 1, então vamos ver o que acontece quando colocamos x igual a zero para obter C. Se x for igual a zero, então teremos o logaritmo natural de 1 igual a C mais... Todos esses termos serão iguais a zero, então 0³ menos 0⁶ e assim por diante, mais zero, mais zero, mais zero. Meu logaritmo natural de 1, é claro, vale zero. Então c deve ser zero, c é igual a zero. Então isso bem aqui é igual a zero. O que acabamos fazer, usando um pouco de integração, foi começar com... (vamos apreciar o que fizemos) começamos com uma série infinita e arbitrária, mostramos que ela pode ser representada como uma série geométrica, definimos o intervalo de convergência para o qual o valor absoluto da razão comum é menor do que 1 e então, usando aquilo, expressamos sua soma e tomamos a antiderivada de ambos os lados para descobrir uma expansão em série para o logaritmo natural de 1 mais x³ o que, ao menos para mim, foi bem interessante. Isso é que nós obtemos: logaritmo natural de 1 mais x³ é igual x³ menos (x⁶ sobre 2) mais (x⁹ sobre 3) e assim por diante. Na verdade, vamos observar isso aqui um pouco mais de perto. Vamos escrever essa soma na notação sigma. Podemos escrever logaritmo natural de 1 mais x³ sobre o domínio restrito, onde o valor absoluto de x é menor que 1. Isso vai ser igual à soma de, digamos, n igual a 1 até o infinito de (x³) elevado a n. Então aqui é a primeira potência, a segunda e assim por diante, sobre n. Isso é x³ sobre 1, (x³) ao quadrado sobre 2 e é claro, eu tenho que colocar aqui... Vamos ver. Este primeiro vale... Temos que ter cuidado com sinais. Deixe-me inserir -1. Vamos ver. -1 à primeira potência deve ser negativo, mas aqui está positivo, então será -1 elevado a (n mais 1). Vamos checar: quando é igual a 1, isso aqui se torna 1. Isso aqui é x³ sobre 1. Quando n é igual a 2 isso se torna negativo, que deve ser mesmo. Então isso se torna x⁶ sobre 2, e assim segue. Então terminamos. Achei essa aula bem satisfatória.