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Intervalo de convergência de séries geométricas

Quando uma série de potências é uma série geométrica, nós podemos encontrar o seu intervalo de convergência sem usar o teste de proporção! Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Como falamos no último vídeo, nós vimos vários exemplos. Começando com uma série geométrica expandida e assumindo que o valor absoluto da sua razão seja menor que 1, queremos encontrar o resultado desta soma. E nós provamos, com esta fórmula, em vídeos anteriores. Agora, façamos o contrário, vamos tentar tomar uma função. Digamos, então, que h(x) = 1 / 3 + x². E uma vez que fizermos isto, podemos pensar no que será a nossa razão e podemos tentar representar isto como uma série geométrica. E como nos outros vídeos, eu lhe encorajo a pausar este vídeo e tentar fazer isso agora. Então, vejamos, a primeira coisa que você irá perceber. A primeira coisa que você deve perceber, é que nós temos 1 aqui ao invés deste 3 aqui. Então, vamos tentar isolar este 3. Logo, isso será igual a 1 / 3 vezes 1 + x² / 3. E, agora, como não queremos este 3 no denominador, podemos ver isso como 1/3. Podemos dizer, então, que isso aqui ficará igual a 1/3 sobre "1 - x²/3". Agora, podemos dizer então que a soma de "n" igual a zero até o infinito de 1/3 vezes a nossa razão elevada à enésima potência. E a nossa razão é igual -x²/3. Agora, se quisermos expandir isto, isto seria igual a: o primeiro termo será 1/3 vezes tudo isso elevado a zero. Isso, então, será simplesmente igual a 1/3. Então, cada termo sucessivo será somente o termo anterior vezes a razão. Logo, 1/3 vezes -x²/3 será igual a 1/9 vezes -x². E para ir disto para aquilo, você tem que multiplicar por, vejamos, 1/3 para -1/3. Você tem que multiplicá-lo por -1/3. E nós multiplicamos por x² também. Agora, no nosso próximo termo, nós iremos multiplicar por x²/3 de novo. Logo, isso será negativo com negativo, positivo. Então, mais 1/27 vezes x⁴. x² vezes x² é igual a x⁴. E continuamos desta maneira. E quando convergir no intervalo de convergência, isso irá convergir para h(x). Então, qual será o intervalo de convergência aqui? E eu lhe encorajo a pausar o vídeo e pensar nisto. Bom, o intervalo de convergência é o intervalo sobre o qual o valor absoluto da razão é menor que 1. Eu vou escrever isto aqui. Então, o valor absoluto de -x²/3 tem que ser menor que 1. Bem, isto é o mesmo que dizer que o valor absoluto de x² / 3 tem que ser menor que 1. E uma coisa para a qual você deve se atentar é que x² sempre será positivo, certo? Eu não quero confundir você neste passo, mas o valor absoluto de x²/3 será somente x²/3. Porque isso nunca terá um valor negativo. E nós podemos aqui multiplicar ambos os lados por 3. Então, teremos que x² < 3. Ou, podemos ainda dizer, que o valor absoluto de "x" precisa ser menor que a √3. E, assim, podemos escrever ainda que "x" é maior que -√3 e menor que √3. E este é nosso intervalo de convergência. Este é um intervalo de convergência desta série. É uma série geométrica, que é um caso especial de uma série de potência. E neste intervalo de convergência isso será igual a 1/ 3 + x². Logo, enquanto "x" estiver neste intervalo, ele terá os mesmos valores da nossa função original. O que é bem interessante!