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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 7
Lição 10: Testes da razão e da série alternadaTeste da razão
O teste da razão é um teste muito útil para a convergência de séries. Ele estende o raciocínio de séries geométricas para séries mais gerais. Aprenda mais sobre isto aqui.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Nós já temos bastante
experiência com as séries geométricas. Vamos tomar por exemplo aqui,
a série geométrica infinita dada pelo somatório para "n = K" até infinito de qⁿ. Então isso aqui vai ficar, vamos expandir isso aqui,
vai ficar qᴷ + qᴷ⁺¹ + qᴷ⁺², e assim sucessivamente. Bom, a gente sabe bastante coisa
sobre esta série geométrica. Uma delas a gente consegue,
por exemplo, calcular a razão aqui desta
nossa série geométrica. A razão vai ser, a gente pega
dois termos consecutivos aqui, pega o da frente e divide pelo de trás,
então vai ficar qⁿ⁺¹/qⁿ. Se a gente pegar dois termos consecutivos,
dividir o da frente pelo de trás, isso vai nos dar razão, então, neste caso, você vai ver
que a razão é "q". Bom, isso faz sentido né,
então, a gente percebe que daqui para cá a gente
está multiplicando, por "q", daqui para cá a gente
está multiplicando por "q". Bom, mas isto tudo aqui
é só uma revisão. Se não é uma revisão para você, eu sugiro que você reveja os vídeos
de série geométricas que a gente já fez. Um resultado muito interessante que
a gente vai usar aqui é o seguinte: se a gente tem que o módulo
da nossa razão aí da série geométrica, o módulo da nossa razão desta
série geométrica é menor que 1, então, a gente pode concluir que a série
que a gente está trabalhando, que esta série converge. Então, a gente pode concluir
que a série converge. E já se o módulo for ≥ 1, aí ela vai divergir. O que faz bastante sentido. Se gente olhar aqui, se a gente tem o módulo da razão < 1, então, quando a gente vai
multiplicando aqui, os valores vão ficando cada vez menores,
isto aqui vai diminuir. Mesmo ela sendo uma série
geométrica infinita, esta série aqui vai acabar convergindo
para um valor finito. Agora, deixando de lado um pouco
a nossa revisão aqui, vamos focar em algo um pouco
mais interessante. Então, digamos que a gente tenha
a série seguinte aqui. O somatório para "n = 5"
até infinito de n¹⁰, vamos pegar uma função que
cresce rapidamente, sobre n!, que é uma função que cresce
mais rapidamente ainda né. E aí, a gente olha para uma coisa
deste tipo aqui e fala: "bom, e aí, como é que a gente faz
para provar que isto aqui converge?" Bom, se a gente pudesse
pensar um pouco aqui, vamos tentar fazer algo parecido
com o que a gente fez aqui em cima. Vamos comparar dois termos consecutivos para a gente ver se a gente encontra
algum tipo de razão aqui. Vamos fazer o seguinte, vamos escrever
o termo de posição "n + 1", então vai ficar (n + 1)¹⁰/(n + 1)!. Isto tudo, a gente vai dividir
pelo termo que está na posição "n", são temos consecutivos, então, vai ficar n¹⁰/n!. Bom, mas aqui, já que a gente
vai dividir aqui por esse cara, a gente pode multiplicar pelo inverso
dele para ficar mais fácil a conta. Então vamos multiplicar aqui por n! /n¹⁰, Então, lembre-se, o que a gente
está tentando fazer é ver se a gente consegue
achar um padrão, uma razão, gente achou aqui em cima. Vamos ver se a gente encontra
algum tipo de razão neste tipo de série que a gente pegou. Então aqui, para a gente sair disso, vamos escrever aqui, (n+1)!, eu posso escrever aqui (n + 1)n!, certo? E aí a gente vai ter que
n! com n! vai sumir, e isso aqui, vai sobrar (n +1)¹⁰
sobre (n+1) vezes, a gente vai ter aqui agora um n¹⁰. Eu já sei você deve estar pensando: "bom, isso aqui não é uma razão como
neste caso, isto aqui não é constante". Isto aqui, na verdade, depende de "n",
isto aqui tem uma função de "n". Então isto aqui provavelmente
não é algo muito útil. Bom, mas se eu te disser o seguinte: quando a gente está tendo
séries deste tipo aqui, o que interessa para a gente
são valores de "n" bem grandes, então o que a gente está
interessado aqui é calcular o limite de quando
"n" vai para o infinito. E se a gente observasse
o comportamento disto aqui e caso isso aqui, sei lá, se aproxime
de um valor real finito, será que a gente não poderia olhar para
isto aqui como o limite da nossa razão? Bom, vamos tentar fazer isso. Vamos então calcular aqui o limite de quando "n" vai para infinito,
disto aqui. Então eu vou copiar isto aqui, para a gente não ter que
escrever tudo de novo. Copiando. Nós queremos fazer o limite disto aqui, ou seja, a gente está querendo saber como é que fica a razão
de dois termos consecutivos quando a gente o "n" muito grande, quando a gente está pegando
o "n" aqui tendendo para infinito. Vamos calcular esse limite aqui então. Bom, isto aqui, esta parte de cima, se a gente abrir isto aqui, vai ficar
n¹⁰ e vai ter mais vários termos aqui. Ou seja, a gente sabe que isto aqui
vai ser um polinômio de grau 10. Aqui vai ficar "n" vezes n¹⁰,
vai dar dar n¹¹, mais n¹⁰. Quando a gente fizer o limite de
"n" tendendo ao infinito aqui, você vai ver que esta potência aqui
que é elevado a 11 é maior que a de cima, e aí a gente pode ver que isto aqui
vai crescer mais rápido. Quer dizer, uma outra maneira
de você ver isso aqui mais fácil, é dividir todos os termos
desta parte de cima por n¹¹, dividir todos os termos aqui desta
parte de baixo também por n¹¹, para a gente não alterar o resultado. Aí, quando a gente fizer o limite
de "n" tendendo ao infinito, aqui tudo vai para zero, e aqui
só vai sobrar este cara aqui vai para 1. Então este limite aqui, a gente pode
dizer que isto aqui vai para zero. Então este limite aqui vai dar zero. Bom, então olhe que legal,
se a gente pudesse tentar olhar lá para o que a gente
fez na série geométrica, embora isso aqui claramente
não seja uma série geométrica, se a gente tentasse usar mais
ou menos a mesma ideia, olha, e dissesse o seguinte: bom, a razão entre dois
termos consecutivos está está se aproximando de zero
quando a gente faz o "n" ir para infinito, então, isso aqui está
ficando cada vez menor. Será que a gente não pode,
então, concluir a partir disso, que a sua soma aqui, esta soma então, n¹⁰/n!, será que a gente não pode afirmar
que esta soma converge? E a resposta é sim, nós podemos
afirmar que esta soma converge. E o que nos garante que esta
soma converge é o teste da razão. Vamos escrever aqui embaixo
o teste da razão. Então aqui, "teste da razão". O que diz este teste da razão
para a gente é o seguinte: se a gente tomar aqui então uma série, digamos, para o somatório
de "n = K" até infinito de aₙ. Bom, se a gente observar que o limite
de quando "n" vai para infinito do módulo de aₙ₊₁/aₙ, repare que aqui a gente
não usou em módulo, mas se a gente tomasse um
módulo aqui não iria alterar nada, aqui você só tem valores positivos,
então daria o mesmo resultado. Mas se o limite de quando "n" vai
para o infinito do módulo de aₙ₊₁/aₙ for igual a um valor "L",
um valor real "L", o teste da razão vai dizer
o seguinte para a gente: "se o 'L' for menor que 1, então a série que a gente
está usando converge." Isso aqui foi o que aconteceu
quando a gente fez no caso aqui, que deu o limite zero. Zero é menor que 1, por isso a gente pode afirmar
que esta série aqui converge. Agora, se o "L" ali, se este limite for um resultado maior que 1, aí a gente pode afirmar
que a série diverge. Então, neste caso, dá para
dizer que a série diverge. E por fim, se o nosso "L" for igual a 1, aí o teste é inconclusivo, a gente não pode concluir nada né, vamos ter que procurar um outro teste para dizer se ela converge
ou se ela diverge. Então essa é a essência
do nosso teste da razão. A gente vai fazer a razão aqui entre
dois termos consecutivos em módulo, vai calcular o limite do módulo disso
aqui quando "n" vai para infinito. Se este limite aqui for
para um valor real, e este valor real for menor que 1,
então esta série converge. E isso é bem parecido, é praticamente a mesma ideia
que a gente usou aqui para a razão em uma série geométrica.