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Exemplo resolvido: série alternada

Exemplo que usa o teste da série alternada para determinar quais valores de uma variável farão a série convergir.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - "Quais são todos os valores positivos de 'p' para que a série converge?" Vamos ver. Nós temos aqui a soma de n = 1 ao infinito de -1 elevado a (n + 1) vezes p/6 elevado a "n". Há algumas coisas que você pode perceber aqui. Este -1 elevado a (n + 1), como "n" vai para 2, vai ficar positivo. Quando "n" vai para 3, ele fica negativo, porque menos com menos dá mais, mais com menos dá menos. Então, este -1 elevado a (n + 1) vai fazer com que a série alterne. Nós vamos ter sinais alternados. Isso pode ser uma pista sobre o que está acontecendo. Na verdade, vamos escrever esta série. Isto vai ser, veja... Quando "n" é igual a 1, este será elevado ao quadrado. Então, será positivo. Será mais p/6 elevado a 1, que é p/6, apenas. Quando "n" é igual a 2, isto vai ser elevado a 3. Ficará menos (p/6)². E, quando "n" é igual a 3, seria mais (p/6)³. Quando "n" é igual a 4, menos (p/6)⁴. E assim continuamente. Isto é, claramente, uma série alternada. E nós poderíamos aplicar o teste da série alternada aqui. O teste da série alternada nos diz que, para esta parte da expressão, a parte que não está alternando no sinal, eu acho que você poderia dizer se esta parte da expressão está diminuindo, se está diminuindo monotonicamente, que é apenas uma maneira elegante de dizer isso. Cada termo sucessivo é inferior ao termo anterior. E se também sabemos que o limite desta, como "n" se aproxima do infinito, isso também deve ser igual a zero. Então, o limite, quando "n" se aproxima do infinito, de mais (p/6) elevado à enésima potência, Deve ser, também igual a zero. Em que condições isso vai ser verdade? Para atender a uma dessas condições, (p/6) tem que ser menor que 1. Por exemplo, se "p" fosse 6, nós não estaríamos diminuindo monotonicamente. Todo o termo aqui seria apenas 1. Seria 1 para 1, 1², mais e mais. E se "p" for maior do que 6? Se "p" for maior do que 6, esse número (que é maior do que 6) sempre seria dividido por 6, o que daria um número cada vez maior. Então, "p" necessita ser menor do que 6, para que esta série possa diminuir. Eles nos perguntaram quais são todos os valores positivos de "p". Então, também sabemos que "p" tem que ser maior do que zero. "p" maior do que zero e menor do que 6. Qual é essa escolha aqui? Mais uma vez, não diremos "menor ou igual a 6", porque, se "p" fosse igual a 6, este termo seria 1. 6 dividido por 6 seria apenas 1. Então, definitivamente é esta primeira alternativa.