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Soma de n quadrados (parte 3)

A soma dos primeiros n quadrados, 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n², é dada pela fórmula ⅙n(n+1)(2n+1). Neste vídeo, fatoramos e reescrevemos a fórmula encontrada no vídeo anterior e obtemos a fórmula comum dada acima. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA19MC - No vídeo passado, nós vimos que o somatório de "i = 0" até "n" de i² é igual a um terço de n³, mais um meio de n², mais um sexto de "n". O que vamos fazer neste vídeo é fatorar este polinômio. A arte de faturar um polinômio é a maneira de você conseguir agrupar esse polinômio. Por exemplo, podemos colocar 1/6 de "n" em evidência e ficamos com 1/3 dividido por 1/6 é igual a 2. n³ dividido por "n" é n². Mais 1/2 dividido por 1/6 é igual a 3. n² dividido por "n" é igual a "n". Mais 1/6 vezes "n" dividido por 1/6 vezes "n" vai ser igual a 1. Agora, vamos encontrar uma forma de agrupar esse segundo conjunto aqui. Nós podemos colocar 2n² mais... Aqui, no lugar de 3n, 2n mais "n", mais 1. E agora podemos fazer 1/6 de "n" e agrupamos da seguinte forma: colocando o "n" em evidência e pegando essas duas parcelas, nós vamos ter "2n + 1" e vai sobrar o quê? Vai sobrar 2n + 1. Podemos colocar entre parênteses e vamos ver como ficamos agora. Ficamos com 1/6 de "n", vezes (2n + 1) em evidência agora. 2n + 1, se você não está acostumado a fatorar dessa forma por agrupamento, verifique outros vídeos da Khan Academy. Aqui, ficamos com "n" vezes (2n + 1) dividido por (2n +1), vai ficar somente o "n". E (2n +1) dividido por (2n + 1) vai ficar 1. Então ficamos com o seguinte polinômio. Vamos escrever agora de uma forma diferente. Vamos ter aqui 1/6 de... aqui é tudo uma multiplicação, portanto, podemos ficar com "n" vezes (n + 1), vezes (2n + 1). Ou seja, esse somatório que temos no início, de "i = 0" até "n" de i², pode ser escrito como "n" vezes (n +1), vezes (2n + 1), tudo dividido por 6. Espero que esse vídeo tenha sido útil.