If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Exemplo resolvido: polinômio de Taylor para uma função derivada

Em vez de aproximar uma função, desta vez devemos aproximar a derivada de uma função.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA7MP - Digamos que a gente saiba todas estas informações sobre uma função "g" e algumas de suas derivadas aqui avaliadas em 2. g(2) é igual a 3, g'(2) é igual a 1, g"(2) é -1, e g"'(2) é 2. Com isso, o que a gente quer é usar um polinômio de Taylor de grau 2, centrado em "x" igual a 2, para aproximar g'(1), ou seja, a gente quer calcular quanto vai dar, aproximadamente, o valor da derivada primeira da função "g" em 1. Antes disto, vamos relembrar como é que a gente faz para aproximar uma função qualquer usando um polinômio de Taylor de grau 2, centrado em "x" igual a 2. Acho que seria interessante agora se você pausasse o vídeo e tentasse pensar nisto sozinho. Depois volta aqui para a gente discutir juntos. Assumindo que você já fez isso, vamos lá. O que a gente quer é aproximar uma função qualquer, digamos, f(x) é a função, a gente quer aproximar esta função usando um polinômio de Taylor de grau 2, só que centrado em "x" igual a 2. Isto vai ficar assim, se a gente vai aproximar a função "f", vai ficar f(2) mais f'(2), vezes (x-2), mais f"(2), vezes (x-2)² nisto tudo vai aparecer aqui um 2 fatorial. A gente conseguiu criar um polinômio de grau 2, aqui você vê (x - 2)², se a gente abrir isto, vai aparecer um termo x², a gente vai ter um polinômio de segundo grau. E este polinômio de grau 2 chamado polinômio de Taylor, para aproximar esta função "f", está sendo centrado em "x" igual a 2. Mas se a gente sabe fazer isto em uma função qualquer, a gente vai fazer com a função g', que é o a gente quer. Vou colocar aqui, g'(x), eu quero aproximar esta função usando um polinômio de Taylor de grau 2 centrado em 2. Quando a gente tinha a função f(x), e a gente foi fazer este polinômio, a gente começou com f(2). A própria função aplicada em 2. Como aqui é g'(x), a gente vai ter g'(2). Mas a função que a gente tem aqui, a gente vai ter que pegar a derivada primeira dela. Quando a gente fizer a derivada primeira de g', vai dar a derivada segunda. Então, g"(2) vezes (x - 2), mais, e aqui a gente vai ter que fazer a derivada segunda desta função, a derivada segunda de g' vai dar g"'(2). Isto vezes (x - 2)², isto tudo sobre 2 fatorial. Mas a gente pode começar agora a trocar estes valores que a gente já tem, que a gente já conhece. A gente sabe, g'(2), a gente tem um valor aqui, g'(2) é 1. Eu posso trocar isto por 1. A gente também sabe o valor de g"(2). g"(2) é -1. Então, isto aqui eu posso trocar por -1. E g"'(2) é 2. Aqui, g"'(2), vamos trocar este cara aqui por 2. Aqui, 2 fatorial é 2 vezes 1. 2 fatorial é 2 vezes 1, que é 2. Portanto, eu posso cancelar este 2 com este 2 fatorial que é a mesma coisa. Então, vai sumir. A gente pode escrever, g'(x) é, aproximadamente, 1. -1 vezes (x - 2), a gente vai fazer a distributiva, -1 vezes "x", -1 vezes -2, vai trocar o sinal, vai ficar +2, -x. Aqui sumiu tudo, vai sobrar (x - 2)², mais (x - 2)². Vamos melhorar aqui, 1 mais 2 é 3, 3 menos "x", mais (x - 2)². Esta é a aproximação que a gente tem de g"(x). Entretanto, o que a gente quer é calcular a aproximação para g'(1). A gente quer avaliar este cara aqui em "x" igual a 1. Eu vou trocar o "x" por 1, o que eu quero fazer é g'(1). Vamos trocar o "x" por 1. Isto vai dar 3 menos, o "x" eu troquei por 1, mais, "x" de novo a gente põe 1, (1 - 2)². E se a gente for fazer isto, 3 menos 1 vai dar 2, este pedacinho dá 2, 1 menos 2 dá -1, porém, a gente vai elevá-lo ao quadrado, elevou este cara ao quadrado, vai dar 1. Aqui a gente vai ter 1 como resultado, vai ficar 2 mais 1. Isto vai dar 3. 3 é o valor da aproximação que a gente estava procurando. Recapitulando, a gente queria aproximar o valor de g'(1), e a gente achou que 3 é uma aproximação para g'(1). E como é que a gente chegou nisto? A gente fez uma aproximação de g'(x) usando uma série de Taylor de grau 2, centrada em "x" igual a 2, e a gente avaliou esta aproximação em "x" igual a 1 para conseguir aproximar o valor de g'(1). É isso aí!