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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)

Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2

Lição 20: Regra da cadeia

Revisão da regra da cadeia

Uma folha de revisão rápida da regra da cadeia.

Introdução

f (x)

g (x)

são duas funções, por exemplo

f (x) = x^{2}

g (x) = sen (x)

, sabemos como calcular a derivada de sua soma:


Regra:	$\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Exemplo:	$\frac{d}{d x} (x^{2} + sen (x)) = 2 x + \cos (x)$ ‍

Também sabemos como calcular a derivada de seu produto:


Regra:	$\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) g^{'} (x) + g (x) f^{'} (x)$ ‍
Exemplo:	$\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot sen (x)) = x^{2} \cos (x) + sen (x) \cdot 2 x$ ‍

A regra da cadeia agora nos informa como calcular a derivada de sua composição, ou seja,

f (g (x))


Regra:	$\frac{d}{d x} (f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍
Exemplo:	$\frac{d}{d x} (sen (x))^{2} = 2 (sen (x)) \cos (x)$ ‍

Intuição com uma falsa álgebra

Advertência: o conteúdo a seguir pode causar dor de cabeça ou mal-estar em leitores sensíveis ao uso violentamente abusivo de notações.

Tendemos a escrever funções e derivadas em função da variável

x

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x

Mas, é claro, poderíamos usar qualquer outra letra.

\frac{d}{d a} (a^{2}) = 2 a

E se fizéssemos algo meio doido, e substituíssemos o

x

por uma função ao invés de uma outra letra?

\frac{d}{d (sen (x))} (sen (x))^{2} = 2 sen (x)

Não é muito óbvio o que este símbolo

\frac{d}{d (sen (x))}

significa, mas vamos continuar com ele mais um pouquinho. Podemos pensar em multiplicá-lo por

\frac{d (sen (x))}{d x}

para "cancelar" o termo

d (sen (x))

\frac{d (sen (x))^{2}}{d (sen (x))} \cdot \frac{d (sen (x))}{d x} = \frac{d}{d x} (sen (x))^{2}

Isto não é bem uma coisa matematicamente legítima para se fazer, já que os termos "

d x

" e "

d (sen (x))

" não são números ou funções que podemos cancelar. Existem maneiras de se fazer isso de forma mais legítima, o que envolve uma matemática mais avançada, mas por enquanto você pode pensar nisso como um truque prático de memória. A vantagem é que, quando expandimos

\frac{d}{d x} (sen (x))^{2}

desta forma, sabemos o que cada termo individualmente representa, mesmo quando não sabemos como calcular a derivada do

(sen (x))^{2}

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (sen (x))^{2} = \underset{\begin{array}{c} Imagine substituir x \\ por sen (x) em \frac{d (x^{2})}{d x} \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (sen (x))^{2}}{d (sen (x))}}} \cdot \underset{\begin{array}{c} Derivada comum \\ de sen (x) \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{d (sen (x))}{d x}}} = 2 sen (x) \cdot \cos (x) \end{array}

Este truque parece particularmente legítimo quando o escrevemos no resumo, ao invés de com o caso específico de

x^{2}

sen (x)

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d x}

Exemplo 1:

\begin{aligned} f (x) & = sen (x^{2}) Função para calcular a derivada \\ u (x) & = x^{2} Defina u (x) como função interna \\ f (x) & = sen (u) Expresse f (x) em função de u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} Expresse a regra da cadeia adequada aqui \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d}{d u} sen (u) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) Substitua em f (u) e u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \cos (u) \cdot 2 x Calcule as derivadas \\ \frac{d f}{d x} & = \cos (x^{2}) (2 x) Substitua u em função de x . \end{aligned}

Exemplo 2:

Uma coisa muito legal que podemos fazer agora é encontrar a derivada da função modular

| x |

, que pode ser definida como

\sqrt{x^{2}}

. Por exemplo,

| - 5 | = \sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5

\begin{aligned} f (x) & = | x | Função para calcular a derivada \\ f (x) & = \sqrt{x^{2}} Função equivalente \\ u (x) & = x^{2} Defina u (x) como função interna \\ f (x) & = [u (x)]^{\frac{1}{2}} Expresse f (x) em função de u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d f}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} Expresse a regra da cadeia adequada aqui \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{d}{d u} u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) Substitua em f (u) e u (x) \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x Calcule as derivadas com a regra da potência \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{1}{2} {(x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x Substitua u (x) de volta em função de x \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} Simplifique \\ \frac{d f}{d x} & = \frac{x}{| x |} Expresse \sqrt{x^{2}} como valor absoluto. \end{aligned}

Composição arbitrariamente longa

A regra da cadeia pode ser utilizada para compor várias funções, não apenas duas. Por exemplo, suponha que

A (x)

B (x)

C (x)

D (x)

são quatro funções diferentes, e defina

f

como sua composição.

f (x) = A (B (C (D (x))))

Ao usarmos a notação

\frac{d f}{d x}

para a derivada, podemos aplicar a regra da cadeia assim:

\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} A (B (C (D (x))) = \frac{d A}{d B} \cdot \frac{d B}{d C} \cdot \frac{d C}{d D} \cdot \frac{d D}{d x}

Ao usarmos a notação

f^{'}

, obtemos uma aparência diferente:

f^{'} (x) = A^{'} (B (C (D (x)))) \cdot B^{'} (C (D (x))) \cdot C^{'} (D (x)) \cdot D^{'} (x)

Exemplo 4:

Suponha que

f (x) = sen (e^{x^{2} + x})

Pensamos em

f

como sendo a composição de

\begin{aligned} A (x) & = sen (x) \\ B (x) & = e^{x} \\ C (x) & = x^{2} + x \end{aligned}

Em que a derivada de cada função é

\begin{aligned} A^{'} (x) & = \cos (x) \\ B^{'} (x) & = e^{x} \\ C^{'} (x) & = 2 x + 1 \end{aligned}

De acordo com a regra da cadeia, a derivada da composição é

\begin{aligned} f^{'} (x) & = A^{'} (B (C (x))) \cdot B^{'} (C (x)) \cdot C^{'} (x) \\ = \cos (e^{x^{2} + x}) \cdot e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) \end{aligned}

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