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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 20: Regra da cadeia- Regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia
- Introdução à regra da cadeia
- Revisão da regra da cadeia
- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
- Regra do quociente a partir das regras do produto e da cadeia.
- Regra da cadeia com regra da potência
- Aplicando a regra da cadeia graficamente 1 (antigo)
- Aplicando a regra da cadeia graficamente 2 (antigo)
- Aplicando a regra da cadeia graficamente 3 (antigo)
- Regra da cadeia
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Revisão da regra da cadeia
Uma folha de revisão rápida da regra da cadeia.
Introdução
Se e são duas funções, por exemplo e , sabemos como calcular a derivada de sua soma:
Regra: | ||
Exemplo: |
Também sabemos como calcular a derivada de seu produto:
Regra: | ||
Exemplo: |
A regra da cadeia agora nos informa como calcular a derivada de sua composição, ou seja, :
Regra: | ||
Exemplo: |
Intuição com uma falsa álgebra
Advertência: o conteúdo a seguir pode causar dor de cabeça ou mal-estar em leitores sensíveis ao uso violentamente abusivo de notações.
Tendemos a escrever funções e derivadas em função da variável .
Mas, é claro, poderíamos usar qualquer outra letra.
E se fizéssemos algo meio doido, e substituíssemos o por uma função ao invés de uma outra letra?
Não é muito óbvio o que este símbolo significa, mas vamos continuar com ele mais um pouquinho. Podemos pensar em multiplicá-lo por para "cancelar" o termo :
Isto não é bem uma coisa matematicamente legítima para se fazer, já que os termos " " e " " não são números ou funções que podemos cancelar. Existem maneiras de se fazer isso de forma mais legítima, o que envolve uma matemática mais avançada, mas por enquanto você pode pensar nisso como um truque prático de memória. A vantagem é que, quando expandimos desta forma, sabemos o que cada termo individualmente representa, mesmo quando não sabemos como calcular a derivada do :
Este truque parece particularmente legítimo quando o escrevemos no resumo, ao invés de com o caso específico de e :
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Uma coisa muito legal que podemos fazer agora é encontrar a derivada da função modular , que pode ser definida como . Por exemplo,
Composição arbitrariamente longa
A regra da cadeia pode ser utilizada para compor várias funções, não apenas duas. Por exemplo, suponha que , , e são quatro funções diferentes, e defina como sua composição.
Ao usarmos a notação para a derivada, podemos aplicar a regra da cadeia assim:
Ao usarmos a notação , obtemos uma aparência diferente:
Exemplo 4:
Suponha que .
Pensamos em como sendo a composição de
Em que a derivada de cada função é
De acordo com a regra da cadeia, a derivada da composição é
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