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Conteúdo principal

Revisão da regra da cadeia

Uma folha de revisão rápida da regra da cadeia.

Introdução

Se f(x) e g(x) são duas funções, por exemplo f(x)=x2 e g(x)=sen(x), sabemos como calcular a derivada de sua soma:
Regra:ddx(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)
Exemplo:ddx(x2+sen(x))=2x+cos(x)
Também sabemos como calcular a derivada de seu produto:
Regra:ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)+g(x)f(x)
Exemplo:ddx(x2sen(x))=x2cos(x)+sen(x)2x
A regra da cadeia agora nos informa como calcular a derivada de sua composição, ou seja, f(g(x)):
Regra:ddx(f(g(x))=f(g(x))g(x)
Exemplo:ddx(sen(x))2=2(sen(x))cos(x)

Intuição com uma falsa álgebra

Advertência: o conteúdo a seguir pode causar dor de cabeça ou mal-estar em leitores sensíveis ao uso violentamente abusivo de notações.
Tendemos a escrever funções e derivadas em função da variável x.
ddx(x2)=2x
Mas, é claro, poderíamos usar qualquer outra letra.
dda(a2)=2a
E se fizéssemos algo meio doido, e substituíssemos o x por uma função ao invés de uma outra letra?
dd(sen(x))(sen(x))2=2sen(x)
Não é muito óbvio o que este símbolo dd(sen(x)) significa, mas vamos continuar com ele mais um pouquinho. Podemos pensar em multiplicá-lo por d(sen(x))dx para "cancelar" o termo d(sen(x)):
d(sen(x))2d(sen(x))d(sen(x))dx=ddx(sen(x))2
Isto não é bem uma coisa matematicamente legítima para se fazer, já que os termos "dx" e "d(sen(x))" não são números ou funções que podemos cancelar. Existem maneiras de se fazer isso de forma mais legítima, o que envolve uma matemática mais avançada, mas por enquanto você pode pensar nisso como um truque prático de memória. A vantagem é que, quando expandimos ddx(sen(x))2 desta forma, sabemos o que cada termo individualmente representa, mesmo quando não sabemos como calcular a derivada do (sen(x))2:
ddx(sen(x))2=d(sen(x))2d(sen(x))Imagine substituir xpor sen(x) em d(x2)dxd(sen(x))dxDerivada comumde sen(x)=2sen(x)cos(x)
Este truque parece particularmente legítimo quando o escrevemos no resumo, ao invés de com o caso específico de x2 e sen(x):
ddx[f(g(x))]=dfdgdgdx

Exemplo 1:

f(x)=sen(x2)Função para calcular a derivadau(x)=x2Defina u(x) como função internaf(x)=sen(u)Expresse f(x) em função de u(x)dfdx=dfdududxExpresse a regra da cadeia adequada aquidfdx=ddusen(u)ddx(x2)Substitua em f(u) e u(x)dfdx=cos(u)2xCalcule as derivadasdfdx=cos(x2)(2x)Substitua u em função de x.

Exemplo 2:

Uma coisa muito legal que podemos fazer agora é encontrar a derivada da função modular |x|, que pode ser definida como x2. Por exemplo, |5|=(5)2=25=5
f(x)=|x|Função para calcular a derivadaf(x)=x2Função equivalenteu(x)=x2Defina u(x) como função internaf(x)=[u(x)]12Expresse f(x) em função de u(x)dfdx=dfdududxExpresse a regra da cadeia adequada aquidfdx=dduu12ddx(x2)Substitua em f(u) e u(x)dfdx=12u122xCalcule as derivadas com a regra da potênciadfdx=12(x2)122xSubstitua u(x) de volta em função de xdfdx=xx2Simplifiquedfdx=x|x|Expresse x2 como valor absoluto.

Composição arbitrariamente longa

A regra da cadeia pode ser utilizada para compor várias funções, não apenas duas. Por exemplo, suponha que A(x), B(x), C(x) e D(x) são quatro funções diferentes, e defina f como sua composição.
f(x)=A(B(C(D(x))))
Ao usarmos a notação dfdx para a derivada, podemos aplicar a regra da cadeia assim:
dfdx=ddxA(B(C(D(x)))=dAdBdBdCdCdDdDdx
Ao usarmos a notação f, obtemos uma aparência diferente:
f(x)=A(B(C(D(x))))B(C(D(x)))C(D(x))D(x)

Exemplo 4:

Suponha que f(x)=sen(ex2+x).
Pensamos em f como sendo a composição de
A(x)=sen(x)B(x)=exC(x)=x2+x
Em que a derivada de cada função é
A(x)=cos(x)B(x)=exC(x)=2x+1
De acordo com a regra da cadeia, a derivada da composição é
f(x)=A(B(C(x)))B(C(x))C(x)=cos(ex2+x)ex2+x(2x+1)

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