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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)

Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2

Lição 20: Regra da cadeia

Regra da cadeia

A regra da cadeia nos diz como calcular a derivada de uma função composta. Revise seus conhecimentos sobre funções compostas, e aprenda a aplicar a regra da cadeia corretamente.

A regra da cadeia diz:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Ela nos diz como calcular a derivada de funções compostas.

Revisão rápida de funções compostas

Uma função é composta se você puder escrevê-la como

f (g (x))

. Em outras palavras, é uma função dentro de uma função ou uma função de uma função.

Por exemplo,

\cos (x^{2})

é composta, porque se considerarmos

f (x) = \cos (x)

g (x) = x^{2}

, então

\cos (x^{2}) = f (g (x))

g

é a função dentro de

f

, então chamamos

g

de função "interna" e

f

de função "externa".

\underset{externa}{\underset{⏟}{\cos (\overset{interna}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

Por outro lado,

\cos (x) \cdot x^{2}

não é uma função composta. Ela é o produto de

f (x) = \cos (x)

por

g (x) = x^{2}

, mas nenhuma das funções está dentro da outra.

Problema 1

A função $g (x) = \ln (sen (x))$ ‍ é uma função composta? Se sim, quais são as funções "interna" e "externa"?

Erro comum: não reconhecer se uma função é composta ou não

Geralmente, a única maneira de calcular a derivada de uma função composta é usando a regra da cadeia. Se não reconhecermos que uma função é composta e que a regra da cadeia deve ser aplicada, não seremos capazes de calcular a derivada corretamente.

Por outro lado, aplicar a regra da cadeia em uma função que não seja composta também resultará em uma derivada errada.

Especialmente com funções transcendentais (por exemplo, funções trigonométricas e logarítmicas), os alunos muitas vezes confundem composições como

\ln (sen (x))

com produtos como

\ln (x) sen (x)

Problema 2

A função $h (x) = \cos^{2} (x)$ ‍ é uma função composta? Se sim, quais são as funções "interna" e "externa"?

Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.

Erro comum: confundir função interna e função externa

Mesmo depois de um aluno reconhecer que uma função é composta, ele ainda pode confundir qual é a função interna e a função externa. Isso certamente vai resultar em uma derivada errada.

Por exemplo, na função composta

\cos^{2} (x)

, a função externa é

x^{2}

e a função interna é

\cos (x)

. Os alunos frequentemente se confundem com esse tipo de função e acham que

\cos (x)

é a função externa.

Exemplo resolvido de aplicação da regra da cadeia

Vamos ver como a regra da cadeia é aplicada calculando a derivada de

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

. Observe que

h

é uma função composta:

\begin{aligned} h (x) & = \underset{externa}{\underset{⏟}{(\overset{interna}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} \\ g (x) & = 5 - 6 x & função interna \\ f (x) & = x^{5} & função externa \end{aligned}

Uma vez que

h

é composta, podemos calcular a sua derivada usando a regra da cadeia:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Descrita verbalmente, a regra diz que a derivada da função composta é a função interna

g

dentro da derivada da função externa

f^{'}

, multiplicada pela derivada da função interna

g^{'}

Antes de aplicar a regra, vamos calcular as derivadas das funções interna e externa:

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Agora vamos aplicar a regra da cadeia:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [f (g (x))] \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

Pratique aplicar a regra da cadeia

Problema 3.A

A lista de exercícios 3 guiará você pelas etapas do cálculo da derivada de

sen (2 x^{3} - 4 x)

Quais são as funções interna e externa em $sen (2 x^{3} - 4 x)$ ‍?

(Escolha A)
A função interna é $sen (x)$ ‍ e a função externa é $2 x^{3} - 4 x$ ‍.
(Escolha B)
A função interna é $2 x^{3} - 4 x$ ‍ e a função externa é $sen (x)$ ‍.
(Escolha C)
A função interna é $2 x^{3}$ ‍ e a função externa é $- 4 x$ ‍.
(Escolha D)
A função interna é $- 4 x$ ‍ e a função externa é $2 x^{3}$ ‍.

Problema 4

\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos (x)}] = ?

Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.

Problema 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.

Problema 6

Kátia tentou encontrar a derivada de

(2 x^{2} - 4)^{3}

. Confira seus cálculos:

Etapa 1: considere

f (x) = x^{3}

g (x) = 2 x^{2} - 4

, então

(2 x^{2} - 4)^{3} = f (g (x))

Etapa 2:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Etapa 3: a derivada é

f^{'} (g (x))

\frac{d}{d x} [(2 x^{2} - 4)^{3}] = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

Os cálculos de Kátia estão corretos? Se não, que erro ela cometeu?

(Escolha A)
Os cálculos de Kátia estão corretos.
(Escolha B)
A etapa 1 está incorreta. $(2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ é igual a $g (f (x))$ ‍, e não a $f (g (x))$ ‍.
(Escolha C)
A etapa 2 está incorreta. A derivada de $f$ ‍ não é $3 x^{2}$ ‍.
(Escolha D)
A etapa 3 está incorreta. A derivada não é $f^{'} (g (x))$ ‍.