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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 20: Regra da cadeia- Regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia
- Introdução à regra da cadeia
- Revisão da regra da cadeia
- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
- Regra do quociente a partir das regras do produto e da cadeia.
- Regra da cadeia com regra da potência
- Aplicando a regra da cadeia graficamente 1 (antigo)
- Aplicando a regra da cadeia graficamente 2 (antigo)
- Aplicando a regra da cadeia graficamente 3 (antigo)
- Regra da cadeia
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Regra da cadeia com regra da potência
Um exemplo em que diferenciamos (2x³+5x²-7)⁸ usando a regra da cadeia e a regra da potência.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Nós temos aqui uma função real definida por
f(x) igual a (2x³ mais 5x² menos 7), tudo elevado à oitava potência. Queremos obter a derivada dessa função
em relação a x. Em primeiro lugar vamos observar que esta função f
pode ser vista como uma composição de duas funções. Vou tentar desenhá-la aqui. Nós começamos com um certo valor x, e com esse certo valor x
eu vou calcular duas vezes esse valor x³ mais cinco vezes esse valor ao quadrado
menos sete. Então vamos imaginar uma função aqui
que toma x e faz essas contas com ele. Essa seria a primeira parte. Digamos que essa seja a função chamada de “u”. Aqui vai fazer (2x³ mais 5x² menos 7), ou seja, qualquer valor que se coloca para a função u ela vai fazer duas vezes aquele valor
elevado à terceira potência mais cinco vezes aquele valor ao quadrado
menos sete. O resultado que sai daí, ou seja,
a saída obtida ao aplicar a função u a um certo valor, sendo X esse valor, a saída é u(x), que é (2x³ mais 5x² menos 7). Mas olhando o que temos, além de obter isto
nós precisamos elevar tudo à oitava potência e podemos enxergar essa parte
como uma nova função. Ou seja, essa saída que obtivemos com a função u(x) vai ser a entrada para uma outra função
que vai ser chamada de função “v” na qual qualquer que seja a entrada,
qualquer coisa que colocarmos nela, ela vai elevar à oitava potência. Nesse caso a entrada para a função v
era u(x), então a saída depois de aplicar a função v vai ser a função v aplicada à função u(x) ou também podemos olhar para isso
como v de (2x³ mais 5x² menos 7), que era u, ou ainda podemos olhar para
(2x³ mais 5x² menos 7) tudo elevado à oitava potência, que é o que a função v
fez com a entrada que colocamos ali. Observe então que a nossa função f(x)
pode ser vista como a composição destas funções u e v e isso tudo, então, é f(x) e se eu escrevo f(x),
posso enxergá-la como f(x) igual a v(u(x)) e nós podemos identificar facilmente
que para obter a derivada a regra da cadeia vai ser extremamente útil aqui. A regra da cadeia nos diz que f'(x)
é a derivada de v em relação a u vezes a derivada de u em relação a x, ou seja, v'(u) vezes u'(x). Organizando as ideias, vamos escrever aqui
u(x) igual a (2x³ mais 5x² menos 7), e a derivada disso em relação a x,
usando a regra da potência, o expoente 3 multiplica 2, então ficamos com 6x²,
diminui 1 no expoente, mais a mesma ideia, 10x, e a derivada de -7 é zero. Agora a função v, se fosse a função v(x), ela seria igual a x⁸ (lembre-se de que a função v só pega a entrada
e a eleva à oitava potência) e a derivada de v em relação a x,
então vai ser 8x⁷. Então v'(u(x)) é igual a 8 vezes (u(x))⁷. Observe que qualquer coisa que você coloque
no lugar do x ali no v', o resultado será 8 vezes aquele valor
elevado à sétima potência. Se eu coloquei u(x) no lugar de x
para função v', então o que temos
é 8 vezes (u(x))⁷. Mas u(x) é (2x³ mais 5x² menos 7), então v'(u(x))
é igual 8 vezes (2x³ mais 5x² menos 7), tudo elevado a 7. Chegamos a f'(x),
a derivada do f(x) e ela é igual a isto,
que é o v'(u(x)) que temos aqui, 8 vezes (2x³ mais 5x² menos 7),
tudo elevado à sétima potência, vezes u'(x),
que é 6x² mais 10x. Conforme for ganhando mais prática com a regra da cadeia você reconhece estas coisas mais rapidamente e no dia a dia você não vai precisar escrever tudo isso. Você vai olhar aqui e falar: "Ora, basta fazer a derivada da função de fora
em relação à de dentro vezes a derivada da função de dentro em relação à variável",
que nesse caso é x. Por exemplo, se f(x) fosse só x⁸,
a derivada seria 8 vezes x⁷. Então em vez de 8 vezes x⁷, vou ter 8 vezes toda aquela expressão de dentro
elevado à sétima vezes a derivada da expressão de dentro
em relação a x. Pronto.
Até o próximo vídeo!