Demonstração da regra da cadeia

RKA8JV - O que eu pretendo, neste vídeo, é fazer uma prova de uma regra que às vezes é elegante, às vezes é infame, chamada regra da cadeia. Se você tem visto alguns vídeos, especialmente no que diz respeito à diferenciabilidade, implica continuidade, e o que acontece com uma função contínua quando a variação de "x", sendo "x" a variável independente, se aproxima de zero e a variação da nossa função, então, também se aproxima de zero, você verá que esta demonstração é algo surpreendentemente simples. A regra da cadeia nos diz que se temos "y", que é função de (u), que é função de "x'', e nós queremos obter a derivada desta função em relação a "x'', ou seja, a derivada de "y" em relação a "x", ''dydx'', isto vai ser igual à derivada de "y" em relação a "u" vezes a derivada de "u'' em relação a "x". Esta é a regra da cadeia. Mas como vamos de fato prová-la? Vamos lembrar que a derivada de ''y'' em relação a "x" é o limite quando Δx tende a zero da variação de ''y" sobre a variação em "x". Agora podemos fazer uma pequena manipulação algébrica aqui para introduzir a variação da função "u". Isto vai ser então, igual ao limite quando Δx tende a zero, e eu vou mexer nesta parte aqui. O que eu vou fazer, essencialmente, é multiplicar e dividir pelo Δu, a variação em "u". Vou reescrever então esta parte como Δy/Δu vezes Δu/Δx, a variação de "y" sobre a variação em "u" vezes a variação em "u" sobre a variação em "x". Observe que aqui estamos tratando de números e então, se fôssemos simplificar esta fração, Δu cancelaria, sobraria apenas Δy/Δx, que era o que já tínhamos antes. Mas vamos trabalhar agora com esta expressão, lembrando que o limite do produto é o produto dos limites. Então isto vai ser a mesma coisa que o limite de Δy/Δu com Δx tendendo a zero vezes o limite, também com Δx tendendo a zero, de Δu/Δx. Vamos ver agora como podemos simplificar isto aqui. O que temos entre os parênteses azuis é a definição de du/dx. Vamos lembrar que estamos assumindo para que esta regra da cadeia seja verdadeira, que "u" e "y" sejam diferenciáveis em relação a "x". Então, assumindo que "y" e "u" são funções diferenciáveis em relação a "x" e portanto contínuas em "x", o que temos aqui entre os parênteses azuis é a definição da derivada de "u" em relação a "x", que é o du/dx. Mas agora, o que está entre os parênteses laranjas ainda não pode ser chamado dy/du porque o limite está relacionado a Δx tendendo a zero, e não o Δu que é o que temos aqui no denominador. Mas como podemos nos lembrar de vídeos anteriores, em uma função contínua em ''x", conforme o Δx se aproxima de zero, o Δu também tende a zero. Então, já que estamos assumindo que "u" é uma função contínua em "x", diferenciável em "x", se o Δx tende a zero, então, Δu também tende a zero. Ou seja, se a variação em "x" vai ficando cada vez menor, a variação em "u" também vai ficando cada vez menor, então podemos, tranquilamente, no limite, substituir o Δx tendendo a zero por Δu tendendo a zero, isso é verdade. Agora sim, o que temos aqui é simplesmente dy/du, pela definição de derivada. O que temos aqui, então, é exatamente a regra da cadeia, dy/du vezes du/dx. Ou seja, assumindo que "y" e "u" são funções contínuas em "x", diferenciáveis em ''x'', a derivada de "y" em relação a "x", sendo que "y" é uma função de "u", que é uma função de "x", é a derivada de "y" em relação a "u" vezes a derivada de "u" em relação a "x", e fizemos isso como uma álgebra bastante simples, e apenas usando suposições a respeito da continuidade e da diferenciabilidade de "y" e de "u" em relação a "x". Enfim, a derivada de "y" em relação a "x" é igual à derivada de ''y" relação a "u" vezes a derivada de "u" em relação a "x". Espero poder ter convencido. Até o próximo vídeo!