Prova: derivabilidade implica continuidade

RKA3JV - Neste vídeo, vamos tentar mostrar que se uma função é diferenciável, significa que ela é contínua naquele ponto. Vamos partir de uma função qualquer f(x) em função de "x". E nós temos aqui uma curva qualquer no ponto "c". Aqui nós temos o ponto "c". Nós vamos ter aqui f(c). E se pegarmos um ponto qualquer mais para frente, um "x" qualquer, nós vamos ter o f(x). Quando "x" tende a "c", f(x) tende a f(c). Ou seja, esta secante que é a linha que vai do ponto (c, f(c)) para o ponto (x, f(x)), se torna uma tangente no ponto e essa é nossa derivada "dy", "dx". Então, a nossa derivada, nós chamamos, aqui é uma revisão da derivada, limite de f(x) - f(c) / x - c, para "x" tendendo a "c". Isto é o que a gente chama de derivada de "y" em função de "x" no ponto "c" ou f' no ponto "c". Agora, vamos ver o que significa continuidade. A continuidade, vamos começar com uma função que não é contínua para a gente ter uma ideia do que é a não continuidade. Então, você tem aqui "x", você tem aqui "y" e a função faz algo deste tipo. A função vem aqui, aí tem um ponto de descontinuidade e neste ponto de descontinuidade ela vale outro valor. Aqui é o ponto "c" e aqui é o f(c). Ora, nós vemos que se nós nos aproximarmos pela esquerda ou pela direita, este ponto é o limite de f(x) quando "x" tende a "c". Ou seja, o limite de f(x) quando "x" tende a "c" não é igual a f(c). Vamos ver outra função que também não é contínua. Então, você tem aqui "y", você tem "x" e vamos colocar a função desta forma. Ela aqui tem um ponto de descontinuidade e ela continua aqui. Então, aqui é o ponto "c", aqui vai ser o limite vindo pela esquerda. Este aqui vai ser o limite de f(x) quando "x" tende a "c" pela esquerda. Mas o limite quando "x" tende a "c" pela direita, vai ser o próprio f(c). Ou seja, neste caso, o limite de f(x) quando "x" tende pela direita, vai ser o f(c), mas pela esquerda não. Ou seja, esta é uma função descontínua e não vai ter o limite neste ponto, pois os limites laterais são diferentes. Agora, uma função que seja contínua para podermos comparar. Nós temos "x", temos "y". Vamos colocar uma função qualquer. Então, vamos pegar um ponto "c" e aqui vai ser o nosso f(c). Neste caso, tanto se o "x" tender a "c" pela esquerda ou o "x" tender a "c" pela direita, nós vamos ter que o limite de f(x) quando "x" tende a "c", vai ser igual ao f(c). Isto mostra que a função é contínua. Agora, vamos ver que a diferenciabilidade implica na continuidade. Vamos partir da seguinte expressão, o limite de f(x) - f(c) para "x" tendendo a "c". Eu posso escrever este limite como sendo, vamos colocar aqui expressão 1. Eu posso escrever este limite como sendo o limite de "x - c" vezes f(x) - f(c) dividido por "x - c". Ou seja, eu peguei esta expressão o limite de "x" tendendo a "c". Eu peguei esta expressão e simplesmente multipliquei por "x - c" em cima, "x - c" embaixo. Eu posso fazer isso, porque "x" não é igual a "c", "x" tende a "c". Então, eu posso separar este limite em dois limites. O limite fica sendo igual. Vamos colocar aqui igual. O limite de "x - c" com "x" tendendo a "c", vezes o limite de f(x) - f(c) sobre "x - c" quando "x" tende a "c". Ora, quando "x" tende a "c", este limite "x - c" cai para zero. E aqui a definição da derivada, o limite de f(x) - f(c) sobre "x - c". Então, isto aqui vai ser a derivada f' no ponto "c". Ora, isto aqui é a multiplicação, isto aqui é uma expressão, um número, e multiplicado por zero vai dar zero. Então, nós temos a nossa primeira expressão, e ela foi igual a zero. Então, ficamos com o limite de f(x) - f(c) com "x" tendendo a "c" vai ser igual a zero. Nós podemos abrir esta expressão como o limite de f(x) quando "x" tende a "c" menos o limite de f(c), quando "x" tende a "c" isto é igual a zero. Vamos continuar aqui, acabou este espaço. Vamos continuar aqui, pelo menos para você ter toda essa anotação no seu quadro. Então, vamos pular daqui para cá. Então, nós temos o limite de f(x) quando "x" tende a "c" menos o limite de f(c) quando "x" tende a "c". Isto aqui não depende de "x". Portanto, este limite vai ser o próprio f(c). Então, ficamos com o limite de f(x) quando "x" tende a "c" menos f(c) igual a zero. E, finalmente, temos que o limite de f(x) quando "x" tende a "c" é igual a f(c). O que mostra que ela é contínua em "c". Implicando que se ela é diferenciável em "c", implica que ela é contínua em "c".