A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 2)

RKA1JV - Neste vídeo, nós vamos tentar encontrar um gráfico da antiderivada de uma função. Deixe-me escrever aqui, nós vamos tentar encontrar a antiderivada. E uma coisa legal a se falar a respeito da antiderivada é que ela é apenas uma palavra bonita para descrever a função em que a sua derivada seja a função que nós conhecemos. Vamos supor que a gente tenha uma função f(x), a gente vai dizer que a antiderivada, vamos escrever isso aqui. A antiderivada de f(x) é F(x). f(x) é a função que a gente conhece e a antiderivada é F(x). Assim, caso a gente calcule a derivada de F(x), então dF(x) em relação a "x", ou simplesmente F'(x), isso aqui vai ser igual à nossa função. A função que a gente conhece. A antiderivada de uma função é aquela função em que a derivada dela vai ser a função que a gente conhece. E aqui nós temos dois gráficos. Utilizando essa ideia, o que nós vamos fazer aqui é, a partir do gráfico de uma função, a gente vai esboçar o gráfico da antiderivada dessa função. Ou melhor, a gente vai esboçar o gráfico de uma antiderivada dessa função. Já que uma determinada função pode ter várias antiderivadas. Mas a partir do gráfico dessa função, pelo menos, a gente vai ter uma ideia de como o gráfico de uma dessas antiderivadas vai se parecer. Aqui esse vai ser o gráfico de y = f(x) e aqui em cima, a gente vai ter o gráfico de "y" sendo igual a F(x), ou seja, a antiderivada de f(x). Vamos lá, para a gente começar a traçar o gráfico aqui da antiderivada, vamos observar o gráfico aqui da derivada nesse primeiro intervalo aqui. Neste primeiro intervalo que vem aqui de "x" igual a zero até este outro ponto em que nós estamos traçando essa reta. Tudo bem? Como você pode observar nesse gráfico, a gente tem uma reta horizontal constante em "y" igual a 1. Isso aqui indica o que para a gente? A derivada sempre vai indicar a inclinação de uma reta tangente em um determinado ponto. Como esse valor é constante de "x" igual a zero até "x" igual esse ponto aqui, a gente vai ter uma inclinação constante e positiva. Essa inclinação vai ser igual a 1. Nós vamos ter aqui nesse primeiro intervalo, uma inclinação sendo positiva igual a 1. Sendo assim, a gente vai ter uma reta subindo desse jeito, isso aqui isso aqui vai ser uma reta com uma inclinação igual a 1. A antiderivada está aumentando porque a inclinação é positiva e essa inclinação vai ser igual a 1. Cresce mais ou menos desse jeito. Lembrando, nesse ponto aqui, a gente tem um ponto de indeterminação. A nossa função aqui é um ponto de indeterminação, Sendo assim, nesse ponto, quando a gente fosse calcular a derivada, a gente poderia ter infinitas retas tangentes nesse ponto. Já que a derivada é indeterminada nesse ponto. Agora, vamos observar o segundo intervalo. Neste segundo intervalo que vem daqui até aqui, deixe-me, novamente, traçar aqui uma reta. Uma reta subindo aqui desse jeito. Neste ponto, a derivada também é contínua, já que é uma reta horizontal no ponto "y" igual a 2. Sendo uma derivada contínua, a gente também vai ter uma reta nessa antiderivada, mas essa reta pode ser subindo ou descendo. Vai depender do sinal da nossa derivada. Como a nossa derivada tem um valor igual a -2, a gente vai ter uma reta decrescendo aqui. Essa reta vai estar decrescendo com uma inclinação duas vezes maior que essa outra anterior. Tem uma inclinação mais ou menos desse jeito aqui. Um detalhe, aqui nesse ponto, como eu disse, a gente pode ter um ponto de infinitas derivadas, já que a gente não tem uma derivada determinada aqui. Por mais que eu tenha traçado essa continuidade nessa função aqui nesse ponto, ela poderia partir de qualquer ponto. Além disso, como eu falei, a gente tem uma antiderivada, então, a gente tem várias funções aqui que poderiam ter esse mesmo comportamento, mas não ter essa continuidade. Neste intervalo aqui, a gente teria uma reta decrescendo desse jeito, mas a gente poderia partir de qualquer ponto aqui no "y". Então, não necessariamente teria uma continuidade apenas avaliando a partir desse gráfico, ok? Lembre-se novamente, isso aqui representa "y" igual à antiderivada e esse aqui representa a nossa função f(x). Esse gráfico aqui de baixo nada mais é do que a derivada dessa função ou de qualquer outra função em relação a "x". Agora vamos observar esse outro intervalo partindo desse ponto e vindo até esse ponto. Como você pode observar, agora a gente não tem uma reta horizontal, mas sim uma reta decrescendo. Só que nesse primeiro intervalo aqui, a gente tem valores positivos para derivada. E aqui nesse outro intervalo, a gente tem valores negativos para a derivada. Então, a gente vai ter que avaliar cada um desses dois intervalos separadamente. Vamos começar aqui nesse ponto em que "y" aqui na derivada é igual a zero. e nesse outro ponto em que "y" é igual a 2, ou seja, se a derivada é positiva, nossa antiderivada está crescendo aqui nesse intervalo, mas à medida que nós avançamos em "x", a derivada vai ficando cada vez menos positiva. Se ela vai ficando cada vez menos positiva, ela vai ficando cada vez menos inclinada. A gente começa com uma inclinação muito alta, mas à medida que a gente vai avançando, essa inclinação vai diminuindo até chegar nesse ponto em que a inclinação é igual a zero. Como nesse ponto, a inclinação é igual a zero, a gente tem que ter uma reta tangente aqui horizontal, já que a inclinação vai ser igual a zero. Agora a gente pode avaliar o outro intervalo nesse intervalo aqui. Neste intervalo, a gente tem uma derivada negativa, então a função, antiderivada, nesse caso, está decrescendo. Se ela está decrescendo, significa que a gente vai ter que descer aqui. Mas decrescendo de que forma? A derivada aqui nesse caso, começa com valor igual a zero, mas à medida que a gente avança no "x", ou seja, a função vai ficando cada vez mais inclinada no sentido negativo. Começa aqui igual a zero, certo? E à medida que a gente vai avançando, ela vai ficando cada vez mais igual a zero. Isso aqui tem que ser simétrico. Apesar de não ter representado muito bem essa simetria, mas esse lado aqui é simétrico a esse. Tudo bem? E outro detalhe, novamente eu tracei aqui essa continuidade, mas essa função F(x), que é a antiderivada, não precisa ser contínua nesse ponto. A gente pode deslocar para qualquer posição aqui na vertical. Novamente, nesse ponto, a gente pode ter infinitas retas tangentes, já que a derivada nesse ponto aqui é indeterminada. Vamos avaliar agora o último intervalo. Neste último intervalo, a nossa função aqui vai ser igual a zero. Além disso, a nossa reta também é horizontal, sendo assim, a inclinação a partir daqui nesse intervalo vai ser igual a zero. Ou seja, nós vamos ter uma reta constante e horizontal saindo desse ponto e vindo aqui para o infinito. Lembrando novamente que a gente tem o gráfico de uma antiderivada dessa função f(x). A gente poderia ter qualquer um desses intervalos em posições diferentes, mas isso aqui, pelo menos, nos dá uma ideia de como o gráfico dessa antiderivada de f(x) vai se parecer. Aqui, por exemplo, poderia desenhar essa reta horizontal aqui em cima, não haveria nenhum problema. E a gente teria algo de acordo com essa derivada aqui. Seria uma outra função, mas a derivada dela teria esse mesmo gráfico. Ou seja, a gente pode deslocar essas figuras para qualquer posição aqui no "y". Seriam funções diferentes, mas em que a sua derivada seria a mesma coisa. Por isso que a gente sempre fala que isso aqui é "uma" antiderivada e não "a" antiderivada.