Conteúdo principal
Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 9: Derivada como uma função- A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 1)
- A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 2)
- Associar graficamente funções e suas derivadas
- Visualizando derivadas
- Conexão gráfica entre f e f'
- Correspondência gráfica entre funções e suas derivadas (vídeo antigo)
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 1)
Dado o gráfico de uma função, esboçamos o gráfico de sua derivada. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Toda inclinação começa em zero?(1 voto)
- eu não entenda inglês, por favor mostrar os videos em português.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Neste vídeo, eu vou te mostrar
uma função muito louca! E vou mostrar como você consegue representar, graficamente, a derivada para esta função. O que eu preciso fazer é pensar sobre a
inclinação da reta tangente ou na inclinação de cada
ponto desta curva. Então, eu vou tentar desenhar a inclinação da melhor maneira possível. Então, vamos fazer isso! Logo aqui neste ponto
a inclinação é positiva. E é, na realidade, muito positiva. E quando "x" aumenta, apesar da inclinação
ainda se manter positiva, ela é menos positiva e vai se tornando
cada vez menos positiva até se tornar zero neste ponto. Aqui, neste ponto, nós sabemos que a inclinação tem que ser igual a zero. Deixe-me desenhar aqui embaixo uma função de "y" em que
"y" é igual à derivada de "x". Eu vou assumir que esta
parte aqui é uma parábola. E você logo vai saber por que
eu fiz essa suposição. A inclinação aqui é muito positiva. Digamos que a inclinação esteja
logo neste ponto aqui e que ela se torna cada vez
menos positiva. Então, eu vou assumir que ela
literalmente faz isto aqui. Por isso que eu assumi que
esta figura é um tipo de parábola. Então, ela vai se tornando
cada vez menos positiva. Observe que aqui neste ponto
a inclinação ainda é positiva. E quando você olha a derivada, a inclinação ainda
vai ter um valor positivo, mas quanto maior for o "x" até este ponto, menor será inclinação até chegar
a um valor igual a zero. Então, a inclinação vai ficar
cada vez mais negativa. E à medida que o "x" aumenta, a inclinação vai se tornando
cada vez mais negativa até chegar neste ponto aqui, que ela é tão negativa
quanto era positiva lá do outro lado. Isso parece ser uma visão bem razoável da inclinação da linha tangente
neste intervalo, certo? Vamos pensar um pouco agora
que chegamos neste ponto. Aqui, a inclinação parece ser constante. A nossa inclinação é um
valor positivo constante, mas eu só vou tomar um
cuidado aqui neste ponto. A nossa inclinação não será definida aqui, porque você poderia desenhar várias
retas tangente sobre este pequeno ponto. Então, deixe-me desenhar
um círculo logo aqui. No entanto, quando chegamos aqui
a inclinação parece ser positiva. Então, vamos colocar isso aqui no gráfico. A inclinação parece ser positiva, apesar de não ser maior
que nesta outra posição. Então, a inclinação
se parece com isso aqui. Eu vou fazer isso de forma grosseira,
tudo bem? Logo, a inclinação tem um
valor positivo constante ao longo de todo este tempo. Temos uma linha com uma inclinação
constante e positiva. Logo, isto vai ter,
mais ou menos, esta forma. Quero deixar bem claro de que é
este intervalo que nós estamos falando. E eu quero que estas coisas aqui
sejam iguais. Deixe-me fazer o melhor possível aqui. Logo, isto aqui se iguala a isto
e isto se iguala a isto aqui. Assim, nós dissemos que temos uma
inclinação positiva e constante, e que tem algo parecido
com isso neste intervalo. Se nós olharmos aqui neste ponto,
nós vamos ter uma inclinação indefinida. Não existe uma maneira de você encontrar
uma inclinação neste ponto ou neste ponto de descontinuidade. Mas, quando olhamos aqui, mesmo que o valor da função
tenha diminuído, existe uma inclinação
constante e positiva. Na verdade, a inclinação desta linha se parece igual à inclinação
desta outra linha. Então, deixe-me fazer isto aqui
com uma cor diferente. A inclinação desta linha
vai parecer idêntica. Nós vamos continuar
com a mesma inclinação, ela será indefinida neste ponto. Mas nós vamos continuar
com a mesma inclinação. Mais uma vez, ela é indefinida aqui
neste ponto de descontinuidade. A inclinação se parece com algo assim. E aí, a gente vem para cá. O valor da função aumenta,
mas agora a função é plana. Ou seja, nós temos
uma reta horizontal aqui. Assim, a inclinação
neste intervalo é zero. Então, nós poderíamos dizer
que neste intervalo aqui nós temos uma inclinação
sendo igual a zero. Finalmente, nesta última parte,
a inclinação vai se tornar negativa, mas é um valor negativo constante, já que nós temos uma reta inclinada e essa inclinação se parece mais negativa do que essa a inclinação aqui positiva. Ou seja, esta reta é a mais
inclinada negativamente do que esta outra era positivamente. Então, deixe-me colocar isso aqui. Então, aqui nós temos esta função
derivada para esta função estranha. Enfim, o objetivo deste vídeo foi dar
a você um pensamento intuitivo de como funciona a inclinação
de uma função. E como você pode, intuitivamente, expressar essa inclinação em qualquer
ponto ao longo desta função. Fazendo isso a gente consegue representar
a derivada para esta função, neste outro gráfico aqui ao longo
de todo este intervalo.