Aproximação de taxa de variação instantânea com taxa de variação média

RKA14C "A tabela dá a posição S de um motociclista" "para t entre 0 e 3", incluindo 0 e 3. Isso está apenas dizendo que t é parte de um intervalo. Ou t é um intervalo entre 0 e 3. Podemos ver aqui onde a distância S percorrida é medida em metros, e t é o tempo em segundos. "Suponha que um motociclista está acelerando" "durante um período de 3 segundos." Nos dão a informação, e isto é o tempo entre 0 e 3 segundos. E aqui temos a distância correspondente, que você pode ver como uma função do tempo. "A velocidade média para t entre 1,5 e 2"... Então, t entre 1,5 e 2 é 23 metros por segundos. O que eles fizeram aqui foi descobrir o que é delta S sobre delta t: neste intervalo, descobriram que era 23 m/s. Você pode verificar isso. Sua variação em S parece ser de 11,5, sua variação no tempo é de 0,5: 11,5 ÷ 0,5 = 23. Então, isso faz sentido! E eles nos mostram a velocidade média para t entre 2 e 2,5. Então, a variação da nossa distância sobre a variação no tempo é dada como 31,8 m/s. Depois, eles falam: "Estime a velocidade instantânea em t = 2 segundos" "e use esse resultado para escrever a equação" "de uma reta tangente a S(t)" "no tempo t = 2". Podemos aproximar a inclinação da reta tangente bem por aqui, exatamente quando t é igual a 2 segundos, utilizando a média das inclinações das retas tangentes entre (1,5, 2) e (2, 2,5). Essencialmente, para aproximar a inclinação da reta tangente, vamos pegar a média dessas duas taxas de variação aqui. A média dessas duas inclinações, vamos fazer isso. A média vai ser: 23 + 31,8 / 2. Vamos ver, isso é igual ao quê? Isso é igual a 54,8/2. 54 ÷ 2 = 27, então 27,4. Aí, podemos usar isso como a nossa aproximação para a taxa de variação instantânea para a inclinação da reta tangente. Agora temos que descobrir como a equação realmente é. Não querem apenas a inclinação... Esta é a inclinação, bem aqui. Eles pedem isso na forma de ponto-inclinação. Também nos lembram que t é a variável independente. Quando você está colocando na forma ponto-inclinação, isso acaba fugindo da definição de reta. Uma reta sempre possui uma inclinação constante. Vamos imaginar um ponto qualquer nesta reta. Então, vamos escrever assim: (t, S), um ponto qualquer na reta tangente aqui. Bom, a inclinação entre este e este ponto vai sempre ser constante. Então, qual é a inclinação entre este ponto e este ponto? Bom, a variação vai ser: S - 30,2 sobre a sua variação em t - 2 é igual à sua inclinação. Em qualquer lugar, ao longo dessa reta tangente, você vai ter esta inclinação: 27,4. Então, você multiplica os dois lados por t - 2 e coloca na forma ponto-inclinação. Isso é o mesmo que: (S - 30,2) igual a 27,4 vezes (t - 2).