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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 3: Derivada como taxa de variação instantâneaAproximação de taxa de variação instantânea com taxa de variação média
Neste vídeo, aproximamos a velocidade instantânea de um motociclista. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C "A tabela dá a posição S
de um motociclista" "para t entre 0 e 3",
incluindo 0 e 3. Isso está apenas dizendo que t
é parte de um intervalo. Ou t é um intervalo
entre 0 e 3. Podemos ver aqui onde
a distância S percorrida é medida em metros,
e t é o tempo em segundos. "Suponha que um motociclista
está acelerando" "durante um período
de 3 segundos." Nos dão a informação, e isto é o tempo entre
0 e 3 segundos. E aqui temos a distância correspondente, que você pode ver como
uma função do tempo. "A velocidade média para t
entre 1,5 e 2"... Então, t entre 1,5 e 2
é 23 metros por segundos. O que eles fizeram aqui foi descobrir o que é
delta S sobre delta t: neste intervalo, descobriram
que era 23 m/s. Você pode verificar isso. Sua variação em S
parece ser de 11,5, sua variação no tempo
é de 0,5: 11,5 ÷ 0,5 = 23. Então, isso faz sentido! E eles nos mostram a velocidade média
para t entre 2 e 2,5. Então, a variação da nossa distância sobre a variação no tempo é dada como 31,8 m/s. Depois, eles falam: "Estime a velocidade instantânea
em t = 2 segundos" "e use esse resultado
para escrever a equação" "de uma reta tangente a S(t)" "no tempo t = 2". Podemos aproximar a inclinação
da reta tangente bem por aqui, exatamente quando t
é igual a 2 segundos, utilizando a média das inclinações
das retas tangentes entre (1,5, 2)
e (2, 2,5). Essencialmente, para aproximar
a inclinação da reta tangente, vamos pegar a média dessas
duas taxas de variação aqui. A média dessas duas inclinações,
vamos fazer isso. A média vai ser:
23 + 31,8 / 2. Vamos ver, isso é igual ao quê? Isso é igual a 54,8/2. 54 ÷ 2 = 27, então 27,4. Aí, podemos usar isso
como a nossa aproximação para a taxa de variação instantânea para a inclinação da reta tangente. Agora temos que descobrir
como a equação realmente é. Não querem apenas a inclinação... Esta é a inclinação, bem aqui. Eles pedem isso na forma
de ponto-inclinação. Também nos lembram que t
é a variável independente. Quando você está colocando
na forma ponto-inclinação, isso acaba fugindo
da definição de reta. Uma reta sempre possui
uma inclinação constante. Vamos imaginar um ponto
qualquer nesta reta. Então, vamos escrever assim: (t, S), um ponto qualquer
na reta tangente aqui. Bom, a inclinação entre
este e este ponto vai sempre ser constante. Então, qual é a inclinação entre
este ponto e este ponto? Bom, a variação vai ser: S - 30,2 sobre
a sua variação em t - 2 é igual à sua inclinação. Em qualquer lugar,
ao longo dessa reta tangente, você vai ter esta inclinação: 27,4. Então, você multiplica
os dois lados por t - 2 e coloca na forma ponto-inclinação. Isso é o mesmo que: (S - 30,2) igual a 27,4 vezes (t - 2).