Estimativa de derivadas com duas retas secantes consecutivas

RKA1JV - A tabela mostra o número de lojas de uma rede de venda de café de 2000 a 2006. O número de lojas são contadas no início de cada ano, no dia primeiro de janeiro. Você tem os anos 2000, 2001, 2002, 2003 e tem a quantidade de lojas a cada ano. Determine uma aproximação razoável para a taxa de variação instantânea do número de lojas por ano no início de 2003. Tomando a média das duas secantes mais próximas. Então vamos plotar o gráfico e visualizar o que está sendo pedido. Aqui nós temos o tempo em anos, aqui nós temos a quantidade de lojas no início de cada ano. No ano 2000, é aproximadamente 2.000, 1.996, no ano 2001 é aproximadamente 2.000, quase 3.000, é 2.700, alguma coisa aqui um pouco mais abaixo. No ano 2002, é 3.501, mais ou menos aqui no meio. E assim sucessivamente. A gente pode ir desenhando como é o comportamento dessa curva. É alguma coisa, vou colocar em outra cor, alguma coisa que faz mais ou menos isso. Ela está, ela decresce aqui, depois ela cresce um pouquinho aqui. Depois, ela decresce aqui, depois ela cresce aqui. O que ele quer é no ano 2003, como ele quer uma taxa de variação instantânea no ano de 2003, nesse ano, essa seria uma reta tangente nesse ponto. Ou seja, se nós pegássemos uma tangente que passasse exatamente nesse ponto, essa seria a taxa de variação instantânea. Mas nós não temos como obter esse dado, já que esses dados são discretos. O que nós podemos fazer é uma média das duas secantes. O que é isso? Nós pegamos a variação anterior, somamos com a variação posterior e dividimos por 2. Ou seja, anteriormente, nós temos uma variação do ano de 2002 para 2003, o número de lojas em 2003 menos número de lojas em 2002 dividido pela variação de tempo que é 2003 menos 2002. Isto aqui nós vamos ter, em 2003, temos 4.272 menos, em 2002, temos 3.501. E a variação do tempo é 1. Então, a variação de lojas entre 2002 e 2003 é 4.272 menos 3.501. Isso aqui vai nos dar 1, 7 dá 7, vai 1, 771 lojas. Temos essa secante, essa variação aqui, 771 lojas a variação. Agora vamos ver para o segundo caso, nós temos no ano de 2004, menos o ano de 2003, essa é a nossa próxima secante. Dividida por 2004 menos 2003, o número de lojas em 2004 é de 5.239 lojas. Menos, em 2003, nós temos 4.272 dividido por 1. Vamos fazer aqui, nós temos 5.239, 4.272, vamos subtrair, 2 para 9, 7, 7 vai para 3, dá 6, 3 para 12 dá 9 e aqui zero. Ou seja, teremos uma variação, nesse caso aqui, de 967. Como queremos uma média da variação instantânea nesse ano, o que podemos fazer é tirar realmente a média aritmética. Ou seja, pegamos 967 mais 771 e dividimos por 2. Isso vai ficar 8, 7 mais 6, 13, vai 1, 1.738 dividido por 2, que vai dar, 16 por 2 dá 8, 13 por 2 dá 6, 18 dá 9, 869 lojas por ano. Essa é a nossa aproximação para essa reta tangente, levando em conta as duas secantes mais próximas.