Coeficiente angular da tangente como taxa de variação instantânea

RKA3JV - As coordenadas de três pontos de uma função suave "f" são dadas nesta tabela. Vamos plotá-los para podermos enxergá-los um pouco melhor. O eixo vertical que chamaremos de "y" será igual a f(x). Aqui, teremos o eixo horizontal que será o nosso eixo "x". Vamos deixar algum espaço aqui, pois iniciamos com valores muito elevados de f(x). E vamos deixar algum espaço aqui, pois começamos em 6,5 e vamos até 7,5. Deixe-me mostrar que estamos deixando algum espaço aqui. Vamos começar. Digamos que seja 108, 109, 110, e aqui tenhamos 6,5, aqui é 7 e chegamos até 7,5. Podemos plotar estes pontos 6,5 e 108,25. Um ponto bem aqui. 7 e 109,45 e um mais à direita por aqui. E 7,5 e 10,15, mais ou menos, aqui. Estes são só três pontos desta função suave "f". Agora, podemos ver como essa função "f" será. Deverá parecer, mais ou menos, assim. Algo deste jeito aqui. A nossa função suave "f" deve parecer, mais ou menos, assim. Quem sabe como irá parecer depois? Mas o que vemos aqui, é o gráfico de y = f(x). Vamos às questões. Qual a taxa média de variação de "f" em relação a "x", quando "x" vai de 6,5 até 7, de 7 até 7,5 e de 6,5 até 7,5? Vamos calcular um por vez. 6,5 até 7, a variação de "x" é 7 - 6,5 que é igual a 0,5. E a variação em "y" é igual a 109,45 - 108,25 que é 1,2. A taxa de variação média, neste intervalo, será a variação de "y" sobre a variação de 'x" ou 1,2 / 0,5. Deixe-me escrever aqui, a variação de "y" sobre a variação de "x" é igual a 1,2 sobre 0,5 que é igual a 2,4. Vamos, agora, para o próximo intervalo. A variação de "x" é 7,5 - 6,5. A variação em "x" continua igual a 0,5. Aqui está ruim para ler. Deixe-me escrever em outro lugar. A variação de "x" continua 0,5 até 7,5. E a variação em "y", vejamos, termina em 110,15 e começa em 109,45. A variação é 0,7. A variação de "y" sobre a variação de "x" é igual a 0,7 sobre 0,5, que é igual a 1,4. O que vemos é que a inclinação da secante é, essencialmente, a inclinação da reta secante entre estes dois pontos. Veja que esta secante aqui, deixe-me desenhá-la melhor. Esta secante, bem aqui, é mais inclinada que esta segunda secante, bem aqui. Agora, vamos calcular a inclinação média. Isto é, a inclinação da secante neste intervalo, que é a mesma coisa que a inclinação da reta secante entre este e este ponto. Vamos pensar sobre Δx. Δx vai de 0,5 até 7,5. Δx = 1. Quanto vale o Δy? O Δy é a variação em "y". Vejamos, "y" termina em 110,15 e inicia em 108,25. 110,15 - 108,25 significa um aumento de 1,9. A variação em "y" pela variação em "x" é igual a 1,9 sobre 1 que é igual a 1,9. Esta é a inclinação desta secante entre este ponto e este ponto bem aqui. Deixe-me desenhar esta reta secante. Uma reta, mais ou menos, assim. Perceba que ela é um pouco menos inclinada que a secante magenta, e um pouco mais inclinada que a secante laranja. Algo entre estas duas secantes. Vamos para a questão final. Usando a variação média de "f" no maior intervalo daqui até aqui, que já vimos ser 1,9. Como uma aproximação para inclinação da reta tangente a "f" em x = 7. Estamos tentando aproximar da inclinação da reta tangente a "f" em f = 7. Esta tangente deve parecer algo assim, parecida com esta linha azul que desenhei aqui. Esta linha que eu desenhei parece, pelo menos como eu desenhei, uma aproximação muito boa para a inclinação da de cima. Vamos usar esta inclinação aqui como uma aproximação para a inclinação da reta tangente em "f = 7". O enunciado pede que escrevamos a equação da tangente em x = 7 e f = 109,45 na forma ponto coeficiente angular. E isto resultará em uma reta com este valor, com sua aproximação para o coeficiente angular e que contenha este ponto em sua tangente. Esta tangente toca a curva neste ponto. Lembre-se, que a forma ponto coeficiente angular da equação da reta, é outra forma de dizer que para cada ponto nesta reta "x" e "y", se tomarmos a variação em "x" em relação à variação em "y", teremos sempre uma inclinação constante. Se tomarmos um ponto arbitrário nesta reta, você saberá a variação em "y". Assim, "y" menos 109,45 sobre a variação em "x" no ponto x = 7 e f(x) = 109,45 quando x = 7. Como falamos do mesmo ponto, a variação em "x" é x - 7, a variação em "y" é y - 109,45. Esta relação será uma constante para qualquer par "x" e "y" que eu tome nesta reta. Usamos este valor como uma aproximação, o coeficiente angular será igual a 1,9. Se queremos a equação na forma ponto coeficiente angular, basta multiplicarmos ambos os lados por x - 7 que teremos y - 109,45 igual a 1,9 vezes x - 7. Feito! Isto é uma aproximação. Aproximamos a inclinação da secante no intervalo e encontramos a equação da reta tangente na forma ponto coeficiente angular.