Conteúdo principal
Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 3: Derivada como taxa de variação instantâneaCoeficiente angular da tangente como taxa de variação instantânea
Neste vídeo, encontramos a taxa de variação média de uma curva em vários intervalos, e usamos um deles para aproximar o coeficiente angular de uma reta tangente à curva. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA3JV - As coordenadas de três
pontos de uma função suave "f" são dadas nesta tabela. Vamos plotá-los para podermos enxergá-los
um pouco melhor. O eixo vertical que chamaremos de "y" será igual a f(x). Aqui, teremos o eixo horizontal que será o nosso eixo "x". Vamos deixar algum espaço aqui, pois iniciamos com valores
muito elevados de f(x). E vamos deixar algum espaço aqui, pois começamos em 6,5 e vamos até 7,5. Deixe-me mostrar que estamos
deixando algum espaço aqui. Vamos começar. Digamos que seja 108, 109, 110, e aqui tenhamos 6,5, aqui é 7
e chegamos até 7,5. Podemos plotar estes pontos 6,5 e 108,25. Um ponto bem aqui. 7 e 109,45
e um mais à direita por aqui. E 7,5 e 10,15, mais ou menos, aqui. Estes são só três pontos
desta função suave "f". Agora, podemos ver como
essa função "f" será. Deverá parecer, mais ou menos, assim. Algo deste jeito aqui. A nossa função suave "f" deve parecer,
mais ou menos, assim. Quem sabe como irá parecer depois? Mas o que vemos aqui,
é o gráfico de y = f(x). Vamos às questões. Qual a taxa média de variação
de "f" em relação a "x", quando "x" vai de 6,5 até 7,
de 7 até 7,5 e de 6,5 até 7,5? Vamos calcular um por vez. 6,5 até 7, a variação de "x" é 7 - 6,5
que é igual a 0,5. E a variação em "y"
é igual a 109,45 - 108,25 que é 1,2. A taxa de variação média, neste intervalo, será a variação de "y"
sobre a variação de 'x" ou 1,2 / 0,5. Deixe-me escrever aqui, a variação de "y" sobre a variação de "x"
é igual a 1,2 sobre 0,5 que é igual a 2,4. Vamos, agora, para o próximo intervalo. A variação de "x" é 7,5 - 6,5. A variação em "x" continua igual a 0,5. Aqui está ruim para ler. Deixe-me escrever em outro lugar. A variação de "x" continua 0,5 até 7,5. E a variação em "y", vejamos,
termina em 110,15 e começa em 109,45. A variação é 0,7. A variação de "y" sobre a variação de "x" é igual a 0,7 sobre 0,5,
que é igual a 1,4. O que vemos é que a inclinação da secante é, essencialmente, a inclinação da reta
secante entre estes dois pontos. Veja que esta secante aqui, deixe-me desenhá-la melhor. Esta secante, bem aqui, é mais inclinada que esta segunda secante, bem aqui. Agora, vamos calcular a inclinação média. Isto é, a inclinação da secante
neste intervalo, que é a mesma coisa que a inclinação da reta secante
entre este e este ponto. Vamos pensar sobre Δx. Δx vai de 0,5 até 7,5. Δx = 1. Quanto vale o Δy? O Δy é a variação em "y". Vejamos, "y" termina em 110,15
e inicia em 108,25. 110,15 - 108,25 significa um aumento de 1,9. A variação em "y" pela variação em "x" é igual a 1,9 sobre 1 que é igual a 1,9. Esta é a inclinação desta secante entre este ponto e este ponto bem aqui. Deixe-me desenhar esta reta secante. Uma reta, mais ou menos, assim. Perceba que ela é um pouco menos
inclinada que a secante magenta, e um pouco mais inclinada
que a secante laranja. Algo entre estas duas secantes. Vamos para a questão final. Usando a variação média
de "f" no maior intervalo daqui até aqui, que já vimos ser 1,9. Como uma aproximação para
inclinação da reta tangente a "f" em x = 7. Estamos tentando aproximar
da inclinação da reta tangente a "f" em f = 7. Esta tangente deve parecer algo assim, parecida com esta linha azul
que desenhei aqui. Esta linha que eu desenhei parece,
pelo menos como eu desenhei, uma aproximação muito boa
para a inclinação da de cima. Vamos usar esta inclinação aqui
como uma aproximação para a inclinação da reta
tangente em "f = 7". O enunciado pede que escrevamos
a equação da tangente em x = 7 e f = 109,45
na forma ponto coeficiente angular. E isto resultará em uma reta com este valor, com sua aproximação
para o coeficiente angular e que contenha este ponto em sua tangente. Esta tangente toca a curva neste ponto. Lembre-se, que a forma
ponto coeficiente angular da equação da reta, é outra forma de dizer que para cada ponto nesta reta "x" e "y", se tomarmos a variação em "x" em relação à variação em "y", teremos sempre uma inclinação constante. Se tomarmos um ponto
arbitrário nesta reta, você saberá a variação em "y". Assim, "y" menos 109,45
sobre a variação em "x" no ponto x = 7
e f(x) = 109,45 quando x = 7. Como falamos do mesmo ponto, a variação em "x" é x - 7, a variação em "y" é y - 109,45. Esta relação será uma constante para qualquer par "x" e "y" que eu tome nesta reta. Usamos este valor como uma aproximação, o coeficiente angular será igual a 1,9. Se queremos a equação na forma
ponto coeficiente angular, basta multiplicarmos ambos
os lados por x - 7 que teremos y - 109,45 igual a 1,9 vezes x - 7. Feito! Isto é uma aproximação. Aproximamos a inclinação
da secante no intervalo e encontramos a equação da reta tangente na forma ponto coeficiente angular.