Desafio de interpretação da derivada

RKA3JV - Seja "f" uma função diferenciável para todos os valores de "x". Se f(-2) é igual a 3, e f'(x) é menor ou igual a 7 para todo "x", então, qual é o maior valor possível para f(10)? Eu sugiro que você pense neste problema sozinho. Pause o vídeo, tente descobrir o maior valor possível de f(10) e, então, depois vamos trabalhar juntos nisso. Eu estou assumindo que você tentou. Vamos visualizar o comportamento de "f". Eu vou desenhar os eixos cartesianos aqui, este é o meu eixo "x" e este bem aqui é o meu eixo "y". Este é o meu eixo "y", farei o gráfico, "y" é igual a f(x). E temos que f(-2) = 3. E os dois eixos estarão em escala semelhante. Digamos que aqui é -2 e aqui é o ponto (-2, 3). E temos que f'(x) é menor ou igual a 7. Ou seja, a taxa de variação instantânea de f(x) é sempre menor ou igual a 7. Na verdade, o jeito de ter o maior valor possível de "f" nós não precisamos invocar o Teorema do Valor Médio. Embora, este teorema possa nos ajudar com certeza. Veja bem, o maior valor possível de f(10) é aquele para o qual nós maximizamos isto aqui. Se assumirmos que a nossa função que cresce mais rápido será uma linha que tem inclinação exatamente igual a 7, então a inclinação de 7 vai se parecer com, e, claro, eu não estou desenhando isto em escala. Visualmente parece uma inclinação igual a 1, mas vamos assumir que vale 7, porque os eixos X e Y não estão na mesma escala. Então, a inclinação é igual a 7. E se nossa inclinação é igual a 7, onde nós estaremos quando "x" for igual a 10? Quando x = 10, que é bem este aqui, de quanto será a nossa variação em "y"? Vamos pensar sobre isto, assim. A nossa variação em "y" sobre a variação de "x" vai ser igual a quanto? Bem, a nossa variação de "y" vai ser igual a f(10) menos f(-2). f(-2) = 3, então -3 sobre nossa variação de "x". A variação em "x" é igual a 10 menos (-2). Essa variação vai ser igual a 7. Esta é a maneira de maximizar o nosso valor de f(10). Se em qualquer ponto a inclinação fosse menor que isto, porque, lembre-se, a taxa de variação nunca pode ser maior que isto, então, se começamos fora, mesmo que por pouco menos, então o melhor que podemos fazer é chegar a este valor. Lembre-se, não podemos fazer algo assim, pois ficaríamos muito inclinados. Então, tem que ser algo assim. Então, teríamos um valor inferior a f(10). Toda vez que temos uma taxa de variação levemente menor, então ela limita o que acontece com o gráfico. Lembre-se, nossa inclinação não pode nunca ser maior que 7, então esta parte deve ser paralela àquela. Mas nós não podemos ter uma inclinação maior do que isto, então a maneira de maximizar isto é, na verdade, ter a inclinação no de valor de 7. Então, quanto valerá f(10)? Vejamos, 10 menos (-2), isto é igual a 10 + 2, vale 12. Multiplique em ambos os lados por 12, teremos 84. Então, f(10) − 3 = 84 ou f(10) vai ser igual a 87. Assim, se tivermos a inclinação de 7 por toda a parte, você se desloca de 12. Isso quer dizer que você vai crescer 84. Se você começou em 3 e cresce 84, isso vale 87.