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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 2: Derivada como o coeficiente angular de uma reta tangenteDesafio de interpretação da derivada
Dado que f(-2)=3 e f'(x)≤7, determinamos o maior valor possível de f(10). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Seja "f" uma
função diferenciável para todos
os valores de "x". Se f(-2)
é igual a 3, e f'(x) é menor ou igual a 7
para todo "x", então, qual é o maior
valor possível para f(10)? Eu sugiro que você pense
neste problema sozinho. Pause o vídeo, tente descobrir
o maior valor possível de f(10) e, então, depois vamos
trabalhar juntos nisso. Eu estou assumindo
que você tentou. Vamos visualizar
o comportamento de "f". Eu vou desenhar
os eixos cartesianos aqui, este é o meu eixo "x" e este
bem aqui é o meu eixo "y". Este é o meu eixo "y", farei o gráfico,
"y" é igual a f(x). E temos que
f(-2) = 3. E os dois eixos estarão
em escala semelhante. Digamos que aqui é -2
e aqui é o ponto (-2, 3). E temos que f'(x)
é menor ou igual a 7. Ou seja, a taxa de variação
instantânea de f(x) é sempre menor
ou igual a 7. Na verdade, o jeito de ter
o maior valor possível de "f" nós não precisamos invocar
o Teorema do Valor Médio. Embora, este teorema possa
nos ajudar com certeza. Veja bem, o maior
valor possível de f(10) é aquele para o qual
nós maximizamos isto aqui. Se assumirmos que a nossa função
que cresce mais rápido será uma linha que tem inclinação
exatamente igual a 7, então a inclinação de 7
vai se parecer com, e, claro, eu não estou
desenhando isto em escala. Visualmente parece
uma inclinação igual a 1, mas vamos assumir
que vale 7, porque os eixos X e Y
não estão na mesma escala. Então, a inclinação
é igual a 7. E se nossa inclinação
é igual a 7, onde nós estaremos
quando "x" for igual a 10? Quando x = 10, que é bem este aqui,
de quanto será a nossa variação em "y"? Vamos pensar
sobre isto, assim. A nossa variação em "y"
sobre a variação de "x" vai ser igual
a quanto? Bem, a nossa variação de "y"
vai ser igual a f(10) menos f(-2). f(-2) = 3, então -3 sobre
nossa variação de "x". A variação em "x"
é igual a 10 menos (-2). Essa variação
vai ser igual a 7. Esta é a maneira de maximizar
o nosso valor de f(10). Se em qualquer ponto a inclinação
fosse menor que isto, porque, lembre-se, a taxa de variação
nunca pode ser maior que isto, então, se começamos fora,
mesmo que por pouco menos, então o melhor que podemos
fazer é chegar a este valor. Lembre-se, não podemos
fazer algo assim, pois ficaríamos
muito inclinados. Então, tem que
ser algo assim. Então, teríamos um
valor inferior a f(10). Toda vez que temos uma taxa
de variação levemente menor, então ela limita o que
acontece com o gráfico. Lembre-se, nossa inclinação
não pode nunca ser maior que 7, então esta parte deve ser paralela àquela. Mas nós não podemos ter
uma inclinação maior do que isto, então a maneira
de maximizar isto é, na verdade, ter
a inclinação no de valor de 7. Então, quanto
valerá f(10)? Vejamos, 10 menos (-2),
isto é igual a 10 + 2, vale 12. Multiplique em ambos os lados
por 12, teremos 84. Então, f(10) − 3 = 84
ou f(10) vai ser igual a 87. Assim, se tivermos a inclinação
de 7 por toda a parte, você se desloca de 12. Isso quer dizer que
você vai crescer 84. Se você começou em 3
e cresce 84, isso vale 87.